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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>John K.</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 17. Jul 2012 20:37<span class="gen"> </span> Titel: Frage zur Diagonalisierung des Trägheitstensors</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, Ich habe eine Frage zu der Diagonalisierung des Trägheitstensors. <br /> <br />Gegeben sei folgender Trägheitstensor (Einheiten habe ich der Übersicht halber vernachlässigt): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$ I_{ij}= \begin{pmatrix} 40 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & -16 \\ 0 & -16 & 24 \end{pmatrix} $"> <br /> <br />Dieser soll diagonalisiert werden: <br /> <br />1) Finde Eigenwerte(über die Nullstellen des charakteristische Polynom): <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$ det \left( \begin{pmatrix} 40 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 24 - \lambda & -16 \\ 0 & -16 & 24 - \lambda \end{pmatrix}\right) $"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$= (40 - \lambda) (24-\lambda)^2 - (40 - \lambda) (-16)^2$ "> <br /> <br />Also ist ein Eigenwert: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$\lambda_1 = 40$"> <br /> <br />Den zweiten Eigenwert erhält man wie folgt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$(24- \lambda)^2 - (-16)^2 = 0$"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$24^2 -48 \lambda + {\lambda}^2 - 16^2 = 0$ "> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$320 - 48 \lambda + {\lambda}^2 = 0$"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$\lambda_2 = \frac{48+ \sqrt{48^2 - 4 \cdot 320}}{2} = 40$"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$\lambda_3 = \frac{48- \sqrt{48^2 - 4 \cdot 320}}{2} = 8$">[/latex] <br /> <br />Daraus ergeben sich folgende Eigenräume zu den entsprechenden Eigenwerten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ -b \end{pmatrix} $"> mit a,b beliebig aus den reellen Zahlen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} a \\ b \\ -b \end{pmatrix} $"> mit a,b beliebig aus den reellen Zahlen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ b \end{pmatrix} $"> mit b beliebig aus den reellen Zahlen. <br /> <br />Hier stellt sich meine erste Frage: Welche Vektoren aus den Eigenräumen, muss ich nehmen? Müssen die von mir ausgewählten Vektoren, die dann die Hauptträgheitsachsen sind, so gewählt sein, dass sie orthogonal sind ? <br /> <br /> <br />Ich würde mich sehr freuen, falls mir jemand weiterhelfen könnte. <br /> <br />Mfg John</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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