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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>DunkDream</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Sep 2012 16:04<span class="gen"> </span> Titel: Harmonischer Oszi, erzwungen, DGL mit Ansatz xo*sin(wt+phi0)</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo liebe Community, <br /> <br />ich beschäftige mich momentan zu einer Aufgabe zu einem harmonischen getriebenen ungedämpften Oszillator. Praktisch um ein Federpendel, das über einen Exzenter periodisch angetrieben wird. <br /> <br />Die inhomogene DGL lautet: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\ddot{x}+ \omega_0*x = K*cos(\omega*t) <br />"> <br />mit <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?K=F_0/m"> <br />und <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(\omega_0)^2=k/m">. <br />Dabei ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?k"> die Federkonstante. <br /> <br />Laut Aufgabenstellung soll die DGL mit dem Ansatz: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />x(t)=x_0*sin(\omega*t+\varphi_0) <br />"> <br /> <br />gelöst werden. <br /> <br />Wie ich vorgegangen bin: <br />Ich habe gelesen, dass die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL ist. <br /> <br />Schon bei der allgemeinen homogenen Lösung fangen die Probleme an. <br /> <br />Eine lin. DGL 2. Grades besitzt zwei Lösungen, also ist die allgemeinen Lösung der homogenen DGL eine Linearkombination der zwei Lösungen, für welche man leicht berechnet: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\omega_0 = \pm\sqrt{k/m} <br />"> <br /> <br />Damit würde die allgemeine Lösung der homogenen DGL folgendermaßen lauten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />x(t) = c_1*sin(\omega_0*t+\varphi_0) + c_2*sin(-\omega_0*t+\varphi_0) <br />"> <br /> <br />Der zweite Teil macht aber physikalisch nicht viel Sinn?! Wie handhabe ich das Problem? Kann ich die zweite Lösung der DGL einfach ignorieren? Dann würde es sich aber doch nicht mehr um die allgemeine Lösung der hom. DGL handeln? <br /> <br />Nun zur Bestimmung der partikulären Lösung: <br /> <br />Ich würde einfach den Ansatz erneut in die DGL einsetzen. Aber ab dann weiß ich nicht weiter. Wonach suche ich jetzt überhaupt genau? <br />Was ist die partikuläre Lösung? Ist das einfach so, dass ich jetzt auf der Suche nach einer Lösung der inhomogenen DGL bin und nichtmehr nach der allgemeinen Lösung (sprich Lin. Komb. aus zwei Lösungsfkt.)? <br /> <br />Angenommen ich könnte <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_part(t)"> bestimmen. <br /> <br />Lautet dann die Lösung der Aufgabe?: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />x(t) = c_1*sin(\omega_0*t+\varphi_0) + c_2*sin(-\omega_0*t+\varphi_0) + x_part(t) <br />"> <br /> <br />Wie wäre diese Lösung dann physikalisch zu interpretieren? Und was müsste durch die Anfangsbedingungen genau bestimmt werden? <br /> <br />Ihr seht, es gibt einige Fragen <img src="images/smiles/frown2.gif" alt="unglücklich" border="0" /> <br /> <br /> <br />Am liebsten ist mir eigentlich immer der komplexe <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C*e^{\lambda}"> Ansatz, da man damit gut nach Kochrezepten arbeiten kann. (Viel mehr ist auch momentan nicht möglich, da DGL's erst nächstes Sem. auf mich zukommen). <br /> <br /> <br />Würde mich über eure Hilfe sehr freuen und bedanke mich im Voraus! <br /> <br />Beste Grüße, <br /> <br />DunkDream</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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