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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>MeBabaMeWhirl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Dez 2012 15:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hat sichs mal jemand ernsthaft durchgelesen? Ist es vielleicht doch viel schwerer als ich mir denke? Die Info wuerde mir auch schon weiterhelfen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>MeBabaMeWhirl</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Dez 2012 22:12<span class="gen"> </span> Titel: Biegetheorie: Baumast unter Schwerkraft</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo zusammen, <br />ich bin von Natur aus Mathematiker, habe quasi seit der 6ten Klasse nichts mehr von Physik gehoert und wuerd gerne um etwas Rat zu folgendem Problem bitten: <br />Gegeben ist ein Baumast auf den keine Schwerkraft wirkt, und der durch folgende Informationen charakterisiert wird: Eine diskrete Menge von Punkten <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_1,\ldots,p_n \in \mathbb{R}^3">, die die Mittelpunkte seiner kreisfoermigen Querschnitte (senkrecht zur Wuchsrichtung) markieren, sowie die Radien <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?r_1,\ldots,r_n"> dieser Mittelpunkte. (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_1"> ist der Punkt auf dem Stamm, an dem der betreffenden Ast abzweigt, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_n"> sein Endpunkt). <br /> <br />Der Polygonzug durch die gegebenen Punkte ist so gutartig, wie es ein natuerlich gewachsener Ast halt sein kann, aber ansonsten nicht besonders festgelegt, weder sind die Punkte notwendigerweise auf einer Linie, noch in einer (zum horizontalen Boden senkrechten) Ebene. Jedem Punkt ist jeweils eine entsprechende Masse <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_1,\ldots,M_n"> zugeordnet, die der Einfachhalt wegen auch in diesen Punkten konzentriert sind. <br /> <br />Meine Frage ist, wie berechne ich die Punkte <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p'_1,\ldots,p'_n">, die den Ast unter Einwirkung der Schwerkraft beschreiben. <br /> <br />Ich erklaere mal anhand eines Artikels, den ich vorhin gelesen habe, und der das Problem fuer den Fall abhandelt dass die Astpunkte in einer Ebene liegen, die zum Boden senkrecht ist, was ich weiss: <br /> <br />img543.imageshack.us/img543/9101/bending.png <br /> <br />Aus den <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_1,\ldots,p_n"> kann ich die lokalen Kruemmungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C_1,\ldots,C_n"> ableiten. Im Uebrigen ist der Winkel, den der Ast bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_1"> mit nem Stamm einschliesst bekannt. <br />Nach Timoshenko wird die Kruemmungsaenderung durch den Einfluss der Schwerkraft durch <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta C_i = \frac{\Delta M_i}{E \cdot I_i}"> beschrieben, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I_i=\pi \frac{r^4_i}{2}"> das 'second moment of area', und E der modulus of elasticity (den ich auch als bekannt voraussetzen kann). <br /> <br />Wie im Bild sei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_i"> die Projektion von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_i"> auf den Boden. <br /> <br />Das Biegemoment <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta M_i"> ist gleich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?(x_i^+ - x_i)\cdot g \cdot M_i^+">, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_i^+"> die Position des center of mass desjenigen Teils des Stammes, der "nach" <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_i"> kommt (d.h. von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_{i+1}"> bis <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_n">), und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_i^+"> die Masse in diesem center of mass. <br />Diese letzten beiden Werte werden induktiv vom Ende des Asts bei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?p_n"> bis zu seinem Anfang berechnet als: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?M_{i-1}^+=M_{i}+M_{i}^+"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x_{i-1}^+=\frac{M_{i}^+ \cdot x_{i}^+ + M_{i} \cdot x_{i}}{M_{i-1}}"> <br /> <br />Auf diesem Wege kann man jetzt nach und nach vom Ende des Asts aus bis zu seinem Anfang die schwerkraftbedingten Aenderungen der Kruemmungen ausrechnen und daraus die neuen Punkte berechnen. <br /> <br />Ich bin bereit das alles so hinzunehmen (obwohl ich intuitiv eher <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta M_i= \| p_i^+ - p_i \| \cdot g \cdot M_i^+"> statt <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Delta M_i=(x_i^+ - x_i)\cdot g \cdot M_i^+"> vermutet haette (?) ). <br />Allerdings ist mir nicht klar, wie ich das verallgemeinere fuer den Fall, dass die Punkte eben nicht in einer (wie im Bild der X-Z-)Ebene liegen. Ein paar Gedanken, das Prinzip von oben zu verallgemeinern habe ich mir versucht zu machen, es kam bisher aber nur Murks raus, den ich nicht fuer postenswert halte. <br />Danke fuer euer Hilfe!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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