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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>SLYYY</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 06. Jan 2013 21:37<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">wow super, danke. <br /> <br />bin jetzt deine Rechnung 1:1 durchgegangen und habs verstanden! <br /> <br /> <br />Vielen, vielen dank! <br />mfg</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Robert O.</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 05. Jan 2013 12:21<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br />stimmt, mit den generalisierten Koordinaten liegst du richtig. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec{r_{i}} = \vec{r_{i}}(q_{1},...,q_{n},t)"> für i = 1,...,N Massenpunkte. <br /> <br />Dann gilt wiederum: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g_{l}(\vec{r_{1}}(q_{1},...,q_{n},t),...,\vec{r_{N}}(q_{1},...,q_{n},t),t)=(identisch)0"> <br /> <br /> <br />d.h.:<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial g_{l}}{\partial q_{j}} = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial g_{l}}{\partial q_{j}} = \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{1}}}*\frac{\partial \vec{r_{1}}}{\partial q_{j}}+...+\frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{N}}}*\frac{\partial \vec{r_{N}}}{\partial q_{j}} = 0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{k=1}^N \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{j}} = 0"> <br /> <br />Lagrange Gleichungen 1.Art: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}} = \vec{F_{i}^{*}} + \sum\limits_{l=1}^k \lambda_{l}(t)* \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{i}}}"> <br /> <br />Multiplikation der DGL. mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}} "> ergibt: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}} = \sum\limits_{i=1}^N\vec{F_{i}^{*}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}} + \sum\limits_{i=1}^N\sum\limits_{l=1}^k \lambda_{l}(t)* \frac{\partial g_{l}}{\partial \vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}} "> <br /> <br />Endliche Doppelsummen sind vertauschbar, womit sich nun die zwangskräftelose Beziehung zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}} = \sum\limits_{i=1}^N\vec{F_{i}^{*}}*\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}}"> ergibt. <br /> <br />Die rechte Seite ist die generalisierte Kraft <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?Q_{j}">, die schon mal passt. Die linke Seite muss noch verändert werden. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{\vec{r_{i}}} = \frac{\dd }{\dd t}\vec{r_{i}} = \frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{1}}*\dot{q_{i}} +...+frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{n}}*\dot{q_{n}} + \frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial t} "> <br /> <br />und somit sieht man, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial \vec{r_{i}}}{\partial q_{j}} = \frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial \dot{q_{j}} }"> ist. <br /> <br />Wendet man nun die Produktregel der Differentiationsrechnung auf der linken Seite der Lagrange Gleichung an, folgt daraus: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{i=1}^N \frac{\dd }{\dd t} (m_{i}*\ddot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial q_{j}}) - \sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}})"> <br /> <br />Mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{j}}) = \frac{\dd }{\dd g_{j}}(\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{1}}*\dot{q_{1}}+...+\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial q_{n}}*\dot{q_{n}}+\frac{\partial \vec{r_{i}} }{\partial t})"> kann man für die linke Seite folgendes schreiben: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{i=1}^N \frac{\dd }{\dd t} (m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial \dot{q_{j}} }) - \sum\limits_{i=1}^N m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}} }}{\partial q_{j}}"> <br /> <br />Zwischenrechnung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial }{\partial \dot{q_{j}} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}) = m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial \dot{q_{j}} }"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\partial }{\partial q_{j} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}) = m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}*\frac{\partial \dot{\vec{r_{i}}} }{\partial q_{j} }"> <br /> <br />Somit folgt für die linke Seite: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sum\limits_{i=1}^N \frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial }{\partial \dot{q_{j}} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2})) - \sum\limits_{i=1}^N \frac{\partial }{\partial q_{j} }(m_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}) = \frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial }{\partial \dot{q_{j}} }(\sum\limits_{i=1}^Nm_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}))- \frac{\partial }{\partial q_{j} }(\sum\limits_{i=1}^Nm_{i}*\dot{\vec{r_{i}}}^{2}) = \frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{j}} })- \frac{\partial T}{\partial q_{j} }"> <br /> <br />Somit ergeben sich die Lagrange Gleichungen 2.Art zu: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{\dd }{\dd t} (\frac{\partial T}{\partial \dot{q_{j}} })- \frac{\partial T}{\partial q_{j} } = Q{j}"> <br /> <br />Ich hoffe, dass deine Frage jetzt beantwortet ist. <br /> <br />mfg</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Slyyy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 04. Jan 2013 17:47<span class="gen"> </span> Titel: Lagrange-Formel 2.Art</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />hallo,<br /><br />Meine Frage betrifft den Stoff der Theoretischen Mechanik. Und zwar weiß ich nicht wie man die Lagrange-Formel 2. Art herleiten kann?! <br /><br />Wärt mir eine Hilfe wenn ihr mir weiterhelfen könnt..<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich habe schon sämtliche Bücher und Google Abfragen durchstöbert, ich finde aber kein zufriedenstellendes Ergebnis.<br /><br />Den einzigen Ansatz den ich weiß ist, dass man die Zwangskräft durch generalisierte Koordinaten eliminieren kann und so weiters auf Lagrange 2.Art kommt.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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