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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Hans Brix</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 30. Apr 2013 22:20<span class="gen"> </span> Titel: Magnetisches Feld eines homogen magnetisierten Zylinders</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo zusammen,<br /><br />ich sitze grade an einer Aufgabe zu Magnetfeldern und habe auch schon einige Ansaetze, aber ich traue mir selbst nicht so ganz. Gefragt ist nach B und H entlang der Achse eines Zylinders mit Radius a und Laenge L, wobei der Zylinder eine permanente Magnetisierung entlang der Zylinderachse besitzt: <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec M := M_0 \vec e_z"><br /><br />Laut Hinweis sollen wir bei der Aufgabe das magnetische Skalarpotential verwenden,<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi_m (\vec r) = \frac{1}{4 \pi} \iint d\vec S \frac{\sigma_m(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|}">, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma_m := \vec M \cdot \vec n"> mit dem Normalenvektor n ist.<br /><br /><br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Wegen der Geometrie zerfaellt das Oberflaechenintegral in "oberer Deckel", bei dem M und n parallel ausgerichtet sind und "unterer Deckel", bei dem M und n antiparallel ausgerichtet sind und den Zylindermantel, bei dem M und n senkrecht stehen, der also keinen Beitrag leistet.<br /><br />Ich setze den Zylinder in ein Zylinderkoordinatensystem mit der z-Achse als Zyliderachse so, dass der Zylinder von z=-L/2 bis z=L/2 geht.<br /><br />Pythagoras liefert fuer <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec r - \vec r'|"> mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\vec r = z \vec e_z"> beim oberen Deckel:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?|\vec r - \vec r'| = \sqrt{(z-L/2)^2 + r'^2}"><br />Damit das Integral in Zylinder/Polarkoordinaten (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? d\vec S = r dr d\phi">):<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \Phi_m(z\vec e_z) = \int _0 ^{2\pi} \int _0 ^a \frac{\sigma_m(r') r'}{\sqrt{(z-L/2)^2 + r'^2}} dr' d\phi">.<br /><br />Jetzt wuerde ich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sigma_m"> rausziehen, da konstant, und fuer den Rest sagt mir Wolfram Alpha, dass die Stammfunktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sqrt{(z-L/2)^2 + r'^2}">, also nur der Nenner, ist. Die Integration ueber <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\phi"> bringt nur ein <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?2\pi">, so dass ich fuer nur den oberen Deckel bisher<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Phi_m(z\vec e_z) = \sigma_m/2 \left(\sqrt{(z-L/2)^2+a^2} - (z-L/2)\right)"><br /><br />raushabe. Geplottet sieht das auch gar nicht mal so falsch aus...<br />Kann das stimmen? Habe ich etwas uebersehen/Rechenfehler gemacht?<br />Fuer den unteren Deckel muesste sich dann nur "ein" Vorzeichen aendern und z+L/2 genommen werden, oder?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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