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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Mai 2013 16:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Idealisierte Vorstellung: Die Kugel ist von einer auf Erdpotential liegenden konzentrischen Kugel mit unendlichem Radius umgeben. Diese Näherung ist zulässig, sofern sich die Kugel genügend weit von der Erde oder geerdeten Teilen in ihrer Umgebung befindet. Die beiden Kugeln beschreiben einen Kugelkondensator mit einem parallelen Widerstand gleicher Form. <br /> <br />Die Kugel ist auf Q0 aufgeladen, d.h. zwischen ihrer Oberfläche und der unendlich weit entfernten Gegenelektrode liegt die Spannung U0=Q0/C. Diese (Anfangs-)Spannung liegt demnach auch am parallelen Widerstand an. Zur Berechnung des Entladevorgangs bedient man sich des Maschensatzes <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_R-u_C=0"> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_R=i\cdot R"> <br />und <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?u_C=-\frac{1}{C}\int i\, dt"> <br /> <br />Der Rest ist einfaches Rechnen: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?i\cdot R+\frac{1}{C}\int i\, dt=0"> <br /> <br />Nach der Zeit ableiten und durch R dividieren: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{di}{dt}+\frac{1}{RC}\cdot i=0"> <br /> <br />Das ist eine homogene Dgl. erster Ordnung, deren Lösung bekanntermaßen lautet <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?i=I_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}"> <br /> <br />Anfangsstrom aus Anfangsbedingung <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I_0=\frac{U_0}{R}"> <br /> <br />Außerdem (s.o.) <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?U_0=\frac{Q_0}{C}"> <br /> <br />Einsetzen in Dgl-Lösung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?i=\frac{U_0}{R}\cdot e^{-\frac{t}{RC}}=\frac{Q_0}{RC}\cdot e^{-\frac{t}{RC}}"> <br /> <br />Damit ist die in der Aufgabenstellung genannte Entladestromgleichung nachgewiesen. Es ist gleichzeitg gezeigt, dass <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c=RC"> <br /> <br />Man nennt diese Größe im Allgemeinen die Zeitkonstante <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\tau">. <br /> <br />Zur Bestimmung der Zeitkonstanten ist also sowohl die Kapazität der Kugel als auch deren Widerstand zur unendlich weit entfernten Gegenelektrode zu berechnen. Das hast Du bestimmt schon einige Male gemacht und dabei das Ergebnis erhalten <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R=\frac{1}{4\cdot\pi\cdot\kappa\cdot r}"> <br />und <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C=4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot r"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c=\tau=R\cdot C=\frac{4\cdot\pi\cdot\epsilon_0\cdot r}{4\cdot\pi\cdot\kappa\cdot r}"> <br /> <br />Da kürzt sich das meiste raus und es bleibt stehen <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c=\frac{\epsilon_0}{\kappa}"> <br /> <br />Die Leitfähigkeit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\kappa"> ist gleich dem Kehrwert des spezifischen Widerstandes <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\rho">, woraus folgt <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c=\epsilon_0\cdot\rho"></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>GvC</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Mai 2013 13:35<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Edit: Hab' den Beitrag erstmal gelöscht. Hatte die Aufgabe nicht genau genug gelesen. Richtige Antwort folgt noch.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Max89</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 11. Mai 2013 13:17<span class="gen"> </span> Titel: Entladungsstrom einer Kugel durch Luft</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo, ich habe folgende Aufgabe:<br />Eine geladene, metallische Kugel hat Anfangs die Ladung Q(0).<br />Sie entlädt sich nun langsam durch die Luft (spezifischer Widerstand: ~3*10^13 Ohm*m).<br />Zeigen Sie, dass für den Entladestrom gilt:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? I(t) = \frac{Q(0)}{c} * e^{-t/c} "><br />und berechnen Sie c!<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Ich habe leider wirklich keine Ahnung wie ich da anfangen soll.<br />Ich habe auf Grund der Entladung und der Exponentialfunktion versucht eine Analogie zur Entladung eines Kondensators zu finden, aber da geht der anfängliche Ansatz praktisch immer über Spannung und das ist ja hier leider schwer zu definieren, ich weiß ja nicht "wohin" die Ladungsträger gezogen werden und welchen Potential dort herrscht.<br />Ich muss also vermutlich eine DLG für den Strom aufstellen, aber der Ansatz fehlt leider völlig.<br />Vielen Dank für alle Tipps, Ansätze usw.!<br />Gruß<br />Max</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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