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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Huggy</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 13. Jan 2014 15:00<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das Verfahren, die beiden im LL aufgeführten Integrale, auf die kanonischen Formen der elliptischen Integrale zurückzuführen, ist ziemlich komplex. Insbesondere ist der im LL auftauchende <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin \Theta"> nicht identisch mit dem <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin t"> in der trigonometrischen Normalform der elliptischen Integrale. <br /> <br />Als ersten Schritt macht man die Substitution <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x= \cos \Theta">. Man erhält dann für die beiden Integrale im LL: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I_1=\int \frac {dx}{\sqrt {P(x)}}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I_2=\int \frac {dx}{(1-x^2)\sqrt {P(x)}}"> <br /> <br />Dabei ist <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P(x)"> ein Polynom 3. Grades in x. Mit dem Wissen, dass sich sich jedes Integral der Form <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int R(x,y)dx">, <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?R(x,y)"> eine rationale Funktion von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y">, <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?y = \sqrt {P(x)}">, wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P(x)"> ein Polynom 3. oder 4 Grades in x ist, welches keine mehrfachen Nullstellen hat, <br /> <br />auf elliptische Integrale zurück führen lässt, ist schon mal klar, dass das für die obigen Integrale gilt. Für die weitere Umformung benötigt man dann die Nullstellen von <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?P(x)">, mit denen sich dann geeignete Substitutionen machen lassen. Zumindest für <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?I_1"> kann man im Magnus/Oberhettinger, Seite 366/377, die konkreten Substitutionen finden. Man hat dann die algebraische Normalform der elliptischen Integrale erreicht. Die Verwandlung in die trigonometrische Normalform ist danach einfach.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>Jayk</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Jan 2014 15:26<span class="gen"> </span> Titel: Elliptisches Integral dritter Art</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span> <br />Landau/Lifschitz Bd. 1, §14 "Bewegung im Zentralfeld", Aufgabe 1. Die Aufgabenstellung lautet: <br /> <br />"Integriere die Bewegungsgleichungen des sphärischen Pendels (Massenpunkt m, der sich auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius l im Schwerefeld bewegt)." <br /> <br />Bis zu diesem Punkt ist alles einfach (phi und Theta sind die Winkel aus den Kugelkoordinaten mit den üblichen Bezeichnungen, also mit phi als Azimut, bloß, dass Theta=0 als senkrecht nach unten definiert wird - ist aber für mein Problem nicht wesentlich): <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \phi = \frac{M_z}{l \sqrt{2 m}} \int \frac{\dd \Theta}{\sin^2 \Theta \sqrt{E - U_\text{eff} (\Theta )}} "> <br /> <br />mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? U_\text{eff} (\Theta ) = \frac{M_z^2}{2 m l^2 \sin^2 \Theta} - m g l \cos \Theta ">, also letztendlich <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \phi = \frac{M_z}{l \sqrt{2 m}} \int \frac{\dd \Theta}{\sin^2 \Theta \sqrt{E - \frac{M_z^2}{2 m l^2 \sin^2 \Theta} + m g l \cos \Theta}} ">. Im Buch wird behauptet, dieses Integral führe auf ein elliptisches Integral dritter Art. Die allgemeine Form wäre ja <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\Pi (\varphi , n , k) = \int_0^\varphi \frac{\dd \vartheta }{(1 - n \sin^2 \vartheta) \sqrt{1 - k^2 \sin^2 \vartheta}}">. Leider erschließt sich mir aber nicht, wie ich das Integral in diese Form bekomme. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span> <br />Ich habe mir gedacht, erstmal ausmultiplizieren: <br /> <br />Allgemeine Form: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\int \frac{\dd \vartheta }{\sqrt{1 - (k^2 + 2 n ) \sin^2 \vartheta + (n^2 + 2 n k^2 ) \sin^4 \vartheta - n^2 k^2 \sin^6 \vartheta}}"> <br /> <br />Spezielles Problem: Ich weiß leider nicht, wie ich mit dem Cosinus umgehen soll. Ich habe mir gedacht, vielleicht kann ich erstmal Cosinus-Terme sammeln und die dann mit einer Substitution in Sinus-Terme verwandeln... Das würde erstmal passen, weil der Sinus, wenn man alles unter die Wurzel zieht, nur in geraden Potenzen auftritt (Ich will also <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\sin^2 \Theta = 1 - \cos^2 \Theta"> nutzen). <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \int \frac{\dd \Theta}{\sqrt{\left( E - \frac{M_z^2}{2 m l^2} \right) + (m g l ) \cos \Theta + \left( - 2 E + \frac{M_z^2}{2 m l^2} \right) \cos^2 \Theta + (- 2 m g l) \cos^3 \Theta + E \cos^4 \Theta + m g l \cos^5 \Theta}} "> <br /> <br />Dumm nur, dass das ein paar Potenzen zu viel sind. Okay, das hätte ich auch gleich sehen können, dass das nichts werden kann, aber hinterher... <br /> <br />Doch was kann man hier machen?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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