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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jumi</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jan 2015 15:03<span class="gen"> </span> Titel: Re: Gedämpfte Schwingung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>planck1858 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}(0)=C_1 \cdot (-\gamma+i \omega) \cdot e^{-\gamma \cdot 0+i\omega \cdot 0}+C_2 \cdot (-\gamma-i \omega) \cdot e^{-\gamma \cdot 0-i\omega \cdot 0}=0"> <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}(0)"> ist doch nicht 0 sondern v0. <br /> <br />Außerdem: am Anfang deines Beitrags fehlen ein paar Punkte.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>planck1858</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 10. Jan 2015 13:30<span class="gen"> </span> Titel: Gedämpfte Schwingung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hi, <br /> <br />für die gedämpfte harmonische Schwingung gilt ja: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x}+2\gamma \dot{x}+\omega_0^2x=0"> <br /> <br />Um diese homogene DGL. 2. Ordnung zu lösen, wende ich den exponentiellen Ansatz an. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=c \cdot e^{\lambda t}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}(t)=c \cdot \lambda \cdot e^{\lambda t}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\ddot{x}(t)=c \cdot \lambda^2 \cdot e^{\lambda t}"> <br /> <br />Mit diesem Ansatz erhalte ich dann die folgende quadratische Gleichung mit den folgenden Nullstellen. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\lambda^2+2 \gamma \lambda+\omega_0^2=0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\lambda_{1/2}=-\gamma \pm \sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}"> <br /> <br />Setzt man dann die Nullstellen in die allgemeine Gleichung ein, so ergibt sich die vollständige Lösung der DGL zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=e^{-\gamma t} \left[C_1e^{\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}t}+C_2e^{-\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}t}\right]"> <br /> <br />Man unterscheidet ja jetzt zwischen drei Fällen für die Zeitabhänigkeit von x(t). <br /> <br />1. Schwache Dämpfung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\gamma << \omega_0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2"> <br /> <br />Damit ergibt sich für die Lösungen für \lambda: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\lambda_{1/2}=-\gamma \pm \sqrt{-\omega}=-\gamma \pm i\omega"> <br /> <br />Damit ergibt sich eine Schwingung der Form: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=C_1e^{-\gamma t+i\omega t}+C_2e^{-\gamma t-i\omega t}"> <br /> <br />bzw. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=e^{-\gamma t} \left[C_1e^{i\omega t}+C_2e^{-i\omega t}\right]"> <br /> <br />Jetzt sind aber noch die beiden folgenden Anfangsbedingungen gegeben: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(0)=A_0"> <br /> <br />und <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}(0)=v_0"> <br /> <br />Damit ergibt sich die Lösung insgesamt zu <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=A_0e^{-\gamma t}cos(\omega t)"> <br /> <br />Mein Problem besteht nun darin, dass ich mit den Anfangsbedingungen nicht auf die letzte Gleichung komme. <br /> <br />Hier mal mein Rechenweg: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(0)=A_0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)=C_1e^{-\gamma \cdot 0+i\omega \cdot 0}+C_2e^{-\gamma \cdot 0-i\omega \cdot 0}=A_0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C_1+C_2=A_0"> <br /> <br />Daraus ergibt sich <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C_1=A_0-C_2"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C_2=A_0-C_1"> <br /> <br />Nun zur zweiten Anfangsbedingung: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}(0)=v_0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}(t)=C_1 \cdot (-\gamma+i \omega) \cdot e^{-\gamma t+i\omega t}+C_2 \cdot (-\gamma-i \omega) \cdot e^{-\gamma t-i\omega t}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\dot{x}(0)=C_1 \cdot (-\gamma+i \omega) \cdot e^{-\gamma \cdot 0+i\omega \cdot 0}+C_2 \cdot (-\gamma-i \omega) \cdot e^{-\gamma \cdot 0-i\omega \cdot 0}=0"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{C_1}{C_2}=-\frac{-\gamma-i \omega}{-\gamma+i \omega}"> <br /> <br />Nun setzte ich die Ausdrücke von der ersten Anfangsbedingung in den Ausdruck für die zweite Anfangsbedingung ein und stelle nach C_1 und C_2 um. <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{A_0-C_2}{C_2}=-\frac{-\gamma-i \omega}{-\gamma+i \omega}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C_2=\frac{A_0}{1-\frac{-\gamma-i \omega}{-\gamma+i \omega}}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\frac{C_1}{A_0-C_1}=-\frac{-\gamma-i \omega}{-\gamma+i \omega}"> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?C_1=\frac{A_0}{1-\frac{-\gamma+i \omega}{-\gamma-i \omega}}"> <br /> <br />So und wenn ich die Ausdrücke nun einsetze, komme ich nicht auf die genannte Gleichung.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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