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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>Boldgo</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 18. Jun 2015 18:04<span class="gen"> </span> Titel: Wellendifferentialgleichung</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"><span style="font-weight: bold">Meine Frage:</span><br />Hallo,<br /><br />ich beschäftige mich gerade mit der Wellengleichung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=c^2 \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} "><br /><br />Eigentlich wollte ich nur eine stehende Welle einer beidseitig eingespannten Saite beschreiben. Die allgemeine Lösung für dieses Vorhaben ist gegeben und lautet <br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \psi(x,t)=A \cdot \cos(\omega t + \phi) \cdot \sin(\frac{2\pi \cdot x}{\lambda } ) "><br /><br />Als ich das ganze mal herleiten wollte um besser damit arbeiten zu können haben sich einige fragen ergeben. <br /><br />Also vorweg, <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? dm \cdot \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = F_0 \cdot dx \cdot \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} "> war gegeben.<br /><br />mit dm=Massenelement; dx=Längenausschnitt; F=Einspannkraft<br /><br />Damit ergeben sich durch leichte Umformungen <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{dm}{dx} = \rho \cdot A "> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \frac{F_0}{\rho \cdot A} = c^2 "> die obige Differentialwellengleichung.<br /><br />Aber, erste Frage: Wie komme ich rechnerisch auf diese allgemeine Lösung für stehende Wellen? <br /><br />Vielleicht sollte ich noch anmerken,dass die Saite auf halber Länge zur Schwingung angeregt wurde und somit der Wellenbauch immer an einem Ort X bleibt. [Kann das überhaupt sein? Wenn ich mir das vorstelle, dann schwingt die Saite doch eigentlich von der Mitte aus nach außen und wird an den befestigten Enden reflektiert oder? Das wäre dann ja nicht der Fall.)<br /><br />Wenn ich von der normalen Beschreibung harmonischer Wellen ausgehe <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? y(t)=A \cdot \sin(\omega t + \phi) "> und das Argument umforme zu <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? y(x,t)=A \cdot \sin(\frac{2\pi }{\lambda }(ct-x) ) "> <br />habe ich die Möglichkeit die 2. partiellen Ableitungen nach Ort und Zeit zu bilden. Das war mein Ansatz und hat auch funktioniert.<br /><br />Die vorgegebene allgemeine Lösung für stehende Wellen hat ja im Kosinus 2 Argumente, welcher mit dem Sinus mit einem Argument multipliziert wurde.<br /><br />In meinem Ansatz habe ich ja den Sinus so umgeformt, dass er auch 2 Argumente hat, damit ich partiell ableiten konnte.<br /><br />Ich habe gehofft durch ein Additionstheorem eine Verbindung herstellen zu können, aber ich habe nur folgendes gefunden, was leider nur fast passt:<br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \sin(2x) = 2 \cdot\sin(x) \cdot \cos(x) "><br />In der allgemeinen vorgegebenen Lösung sind ja 2 Argumente im Kosinus.<br /><br />Durch das häufige Umformen habe ich auch bemerkt, dass <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \phi = \omega t = \frac{2\pi x}{\lambda } "> ist.<br /><br /><br />Ich beschäftige mich jetzt schon seit 2 Tagen damit und hoffe darauf, dass sich hier jemand findet der mein Interesse daran teilt und mir helfen kann. <br />Gestern habe ich mal die Gleichung des Federpendels hergeleitet, da ich gehofft habe dadurch eine Idee zu bekommen, was ich auch geschafft habe <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /><br />[Das war die erste Herleitung meines Lebens]<br /><br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? m\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -Dx "><br /><br />Das war sehr Interessant. Ich wäre nie auf den Ansatz <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? x = ce^{\lambda t} "> gekommen. Dann Ableiten, wegen der negativen Wurzel in die komplexe Form übertragen und dann in sin und cos umschreiben usw.<br />Am Ende habe ich die Schwingungsgleichung für harmonische Schwingungen raus gehabt, nach einiger Zeit.<br /><br />Ich habe Versuch Lösungsansätze auf dieses Problem zu übertragen, aber bis jetzt ohne Erfolg.<br /><br /><span style="font-weight: bold">Meine Ideen:</span><br />Die Ansätze habe ich in den Text der Fragestellung integriert, da es so strukturierter ist. <br />Ich freue mich auf Hilfe und bitte bedenkt, dass ich noch kein Profi bin, aber es sehr gerne richtig verstehen möchte und bemerkt habe, dass ich beim herleiten viel lerne. Leider haben mir Informationen aus dem Internet und diversen Büchern nicht geholfen, aber beim Federpendel hat es geklappt <img src="images/smiles/balloon.gif" alt="smile" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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