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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>NetStudent</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 14. Dez 2015 12:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Dass bei der Addition einer komplexen Zahl mit dem komplex konjugierten derselben der Imaginärteil wegfällt ist klar. <br />Aber in diesem Fall werden die beiden komplexen Konstanten ja nicht einfach addiert, sondern stehen als Koeffizienten vor zwei Exponentialfunktionen. <br />Und daraus entsteht durch das Gleichsetzen (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c = c_1 = c_2^*">) eine neue komplexe Zahl <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c">. <br />Aber ich glaube, dass ich gerade selbst auf den Ansatz gekommen bin. Die Exponentialfunktion lässt sich ja schreiben als <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin (\phi) <br />"> <br />Wegen der Punktsymmetrie des Sinus und der Achsensymmetrie des Kosinus, fällt der komplexe Teil weg, wenn man einen positiven und den zugehörigen negativen Winkel addiert. <br /> <br />Mit <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />c = a+bi = \sqrt{a^2+b^2} \cdot e^{i \cdot \arg(c)} <br />"> <br />wobei arg die Argumentfunktion bezeichnet: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\arg(x) = \begin{cases} <br />+\arccos \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) & , b \geq 0\\ <br />-\arccos \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right) & , b < 0 <br />\end{cases} <br />"> <br />an der man erkennen kann, dass <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\arg(c) = \arg(c^*) <br />"> <br />kann man sich folgendes herleiten: <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />c \cdot e^{i \cdot \omega_0 \cdot t} + c^* \cdot e^{-i \cdot \omega_0 \cdot t} &=& \sqrt{a^2 + b^2} \cdot (e^{i \cdot \arg(c)} \cdot e^{i \cdot \omega_0 \cdot t} + e^{- i \cdot \arg(c)} \cdot e^{-i \cdot \omega_0 \cdot t}) <br />&=& \sqrt{a^2 + b^2} \cdot (e^{i \cdot (\arg(c) + \omega_0 \cdot t)} + e^{-i \cdot (\arg(c) + \omega_0 \cdot t)}) <br />"> <br />Das Argument der zweiten Exponentialfunktion ensteht aus der Achsensymmetrie der Argumentfunktion. <br />mit <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />\tau = \arg(c) + \omega_0 \cdot t <br />"> <br />gilt: <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />c \cdot e^{i \cdot \omega_0 \cdot t} + c^* \cdot e^{-i \omega_0 t} &=& \sqrt{a^2 + b^2} \cdot (\cos(\tau) + i \cdot \sin(\tau) + \cos(-\tau) + i \cdot \sin(-\tau)) <br />&=& \sqrt{a^2 + b^2} \cdot (2 \cdot \cos(\tau)) <br />&=& 2 \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \cos (\arg(c) + \omega_0 \cdot t) <br />"> <br /> <br />Somit gibt es keinen komplexen Teil mehr in der Gleichung. Das Ergebnis entspricht einer allgemeinen Kosinus-Funktion der Form <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? <br />A \cdot cos(\omega_0 \cdot t + \phi) <br />"> <br />, wobei der Streckungsfaktor A durch das 2-fache des Betrag von c und die Winkelverschiebung durch den Winkel unserer gewählten komplexen Konstante c auf der Re-Im-Ebene entsteht. <br /> <br />Ich hoffe, dass ich keine allzu großen Fehler gemacht hab und dass ich damit vielleicht auch dem einen oder anderen weiterhelfen kann, der ein ähnliches Verständnisproblem hat. <br /> <br />Grüße NetStudent</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>jmd</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Dez 2015 18:28<span class="gen"> </span> Titel: Re: Harmonische Schwingung: Zusammenfassung komplexer Konsta</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>NetStudent hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">? <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_1"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_2"> sind doch zwei voneinander unabhängige komplexe Zahlen, also <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_1 = a + bi"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_2 = c + di">? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br />wenn du mit diesen Zahlen die reele Lösung suchst <br />gibt es ein Problem <br />du wirst nämlich die imaginären Zahlen nicht los <br />und das ist ungünstig <br /> <br />sind c1 und c2 aber konjugiert komplex rechnet sich der <br />Imaginäranteil heraus <br />also hier immer konjugiert komplexe Zahlen nehmen</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>NetStudent</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 12. Dez 2015 16:17<span class="gen"> </span> Titel: Harmonische Schwingung: Zusammenfassung komplexer Konstanten</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br />meine Frage betrifft die Darstellungsform der harmonischen Schwingung mithilfe der Exponentialfunktion. <br />Mit der Herleitung der Standardform <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = c_1 \cdot e^{i \omega_0 t} + c_2 \cdot e^{-i \omega_0 t}"> <br />hab ich keine Probleme. Da <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_1"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_2"> aber beide komplex sind, darf man mit <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c = c_1 = c_2^*"> (<img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c = a + bi">) <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t) = c \cdot e^{i \omega_0 t} + c^* \cdot e^{-i \omega_0 t}"> <br />schreiben, da die Funktion <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?x(t)"> reelwertig sein muss. <br />Kann mir einer erklären, wieso? <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_1"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_2"> sind doch zwei voneinander unabhängige komplexe Zahlen, also <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_1 = a + bi"> und <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?c_2 = c + di">? <br /> <br />Würde mich über eine Antwort freuen, da ich jetzt schon seit Wochen darüber nachdenke, aber auf keinen grünen Zweig komme. <br /> <br />Grüße <br />NetStudent</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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