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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 24. Jan 2016 17:01<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich habe irgendwo mal gelernt, dass das Cauchy-Problem wohldefinierte ist, wenn geeignete Eichbedingungen bzgl. der Metrik gefordert werden. Im Kontext der Quantengravitation habe ich verstanden, dass dies äquivalent ist zur Konstruktion einer maximalen, raumartigen Hyperfläche unter Beachtung der Implementierung der Constraints auf derselben. <br /> <br />D.h. ausgehend von einer raumartigen Hyperfläche ist das Cauchy-Problem lösbar. Ausgehend von einer vier-dim. Raumzeit ist das Cauchy-Problem i.A. nicht lösbar.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Jan 2016 12:46<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Und es ist so kompliziert, dass selbst Einstein daran 2 Jahre scheiterte? Dann brauche ich nicht mal im Gedanken danach fragen. <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 23. Jan 2016 10:16<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>schnudl hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Einstein hat ja angeblich gedacht, es gäbe verschiedene physikalische Lösungen bei gleichem Randwert. Ich habe wo gelesen, dass er annahm, dass <br />R(x) und R'(x) unterschiedliche Realitäten beschreiben. Kann man denn zeigen, dass diese beiden gleichwertig sind? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ja, das kann man, indem man zeigt, daß eine Isometrie existiert, die beide "Realitäten", also Raumzeiten, aufeinander abbildet. Andernfalls kann es eine Menge realer Unterschiede geben: ein Beobachter braucht mehr Zeit um von A' nach B' zu fallen als von A nach B. Oder er spürt stärkere Gezeitenkräfte in A' als in A. Oder ähnliches. Aber mit Isometrien bist du auf der sicheren Seite, daß sowas nicht passiert. In dem Sinne kannst du also isometrische Raumzeiten auch nicht physikalisch voneinander unterscheiden. Diffeomorphismen sind allgemeiner. Sie respektieren lediglich die differenzierbare Struktur der beiden Raumzeiten, nehmen aber keine Rücksicht auf deren <span style="font-style: italic">metrische</span> Struktur. <br /> <br />Nun ist die Frage inwiefern die Einsteingleichungen eine physikalisch sinnvolle Theorie der Dynamik der Raumzeit liefern. Von einem korrekt gestellten Anfangs- oder Randwertproblem erwartet man u.a. die Eindeutigkeit der Lösung. Für die Einsteingleichungen existiert nun aber insofern eine Sondersituation, als man nicht nur irgendein Feld auf einer vorgegebenen Raumzeit, sondern die Raumzeit selbst gleich als Teil der Lösung mitkonstruieren muß. Man muß also die Frage beantworten inwiefern die dynamischen Gleichungen der ART es bewerkstelligen, bei geeigneten Randbedingungen lediglich physikalisch ununterscheidbare Raumzeiten zu liefern. Und dies ist genau die Frage, die durch die Existenz von Isometrien beantwortet wird. Ich weiß nicht annähernd genug, um dir da einen Überblick zu geben, wie zufriedenstellend diese Situation für <span style="font-style: italic">beliebige</span> Randwertprobleme in der ART geklärt ist. Aber für spezielle Anfangswertprobleme, wie dem Cauchy-Problem, scheint es genau so zu sein, wie man es von einer sinnvollen Theorie der "Raumzeitdynamik" erwarten würde. (Siehe das Theorem, auf das ich mich oben bezogen habe.)</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2016 20:58<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Einstein hat ja angeblich gedacht, es gäbe verschiedene physikalische Lösungen bei gleichem Randwert. Ich habe wo gelesen, dass er annahm, dass <br />R(x) und R'(x) unterschiedliche Realitäten beschreiben. Kann man denn zeigen, dass diese beiden gleichwertig sind? Wennselbst Einstein dies nicht so schnell konnte, nehme ich auch nicht an, es gelänge mir, dies in 10 min zu verstehen, aber gibt es so einen "Beweis" denn?</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2016 20:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>schnudl hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das ist ja keineswegs notwendigerweise der Fall, wenn "die gleiche Physik beschreiben" heißen soll, daß G und G' dasselbe Randwertproblem lösen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ist die Frage nach der Realität im Inneren denn irgendwie "sinnlos" ? <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Nein, wieso? Real sind die Abstände zwischen Ereignissen (im Sinne der Minkowski-Metrik). Diese werden eindeutig durch das Randwertproblem festgelegt. Nichts anderes bedeutet es ja, daß die Lösung bis auf Isometrie eindeutig ist. (Ich rede hier übrigens nur von einem bestimmten Anfangswertproblem. Ich weiß nicht, ob für Ränder beliebiger "Löcher" in der Raumzeit ähnliche Aussagen gelten.) <br /> <br /></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />Ich nehme an, das Loch-Paradoxon ist ja längst "gelöst". Einstein hat ja die Kovarianz wieder in seine Theorie aufgenommen. Was ist denn eigentlich die entsprechende Antwort? Würde mich interessieren? Schließlich hat Einstein zwei Jahre damit verbracht, hier eine Antwort zu finden. Nirgends finde ich eine für mich verständliche Beschreibung. Liegt vielleicht an meinem seichten Hintergrundwissen....</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ich glaube der Begriff "allgemeine Kovarianz" selbst ist ziemlich diffus. Er spielte zwar anscheinend irgendwie die Rolle eines Leitgedankens für Einstein bei der Suche nach der allgemeinen Relativitätstheorie. Es ist aber gar nicht so leicht zu fassen, was er überhaupt bedeuten soll. Er ist potentiell inhaltsleer, oder stellt zumindest kein absolutes Kriterium dar, welches prinzipiell "kovariante" von "nichtkovarianten" Theorien zu unterscheiden erlaubt. Im Sinne einer "Invarianz unter allgemeinen Koordinatentransformationen" bekommst du die gesamte Physik kovariant von Newton über Maxwell zu Einstein. Das zeichnet die ART in keiner Weise aus. <br /> <br />Ansonsten scheint er auch manchmal irgendwie im Sinne von Symmetrietransformationen verwendet zu werden. Dieser Begriff führt allerdings wieder zurück auf den der Isometrie, der Killingfelder etc., also zu etwas weit speziellerem als beliebigen Diffeomorphismen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2016 20:19<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>Zitat:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote">Das ist ja keineswegs notwendigerweise der Fall, wenn "die gleiche Physik beschreiben" heißen soll, daß G und G' dasselbe Randwertproblem lösen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Ist die Frage nach der Realität im Inneren denn irgendwie "sinnlos" ? <br /> <br />Ich nehme an, das Loch-Paradoxon ist ja längst "gelöst". Einstein hat ja die Kovarianz wieder in seine Theorie aufgenommen. Was ist denn eigentlich die entsprechende Antwort? Würde mich interessieren? Schließlich hat Einstein zwei Jahre damit verbracht, hier eine Antwort zu finden. Nirgends finde ich eine für mich verständliche Beschreibung. Liegt vielleicht an meinem seichten Hintergrundwissen....</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2016 20:13<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>schnudl hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br /><span style="font-weight: bold">Frage: Ist es das, was das Argument sagen will?</span> <br /> <br />Falls ja, wie kommt man dann aus der Misere raus? Wieso sollen G'(X) und G(X) zueinander äquivalent sein und die gleiche Physik beschreiben: <br /></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Das ist ja keineswegs notwendigerweise der Fall, wenn "die gleiche Physik beschreiben" heißen soll, daß G und G' dasselbe Randwertproblem lösen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2016 17:40<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>jh8979 hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>index_razor hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />P.S. Ich vermute mal bei der "vorsichtigen" Formulierung des Cauchy-Problems wird dann sowas wie "Eindeutigkeit der Lösung bis auf Isometrie" oder etwas ähnliches rauskommen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das Cauchy-Problem ist in der ART in der Tat alles andere als trivial. Schau mal hier für eine kleine Einführung: <br /><a href="https://people.kth.se/~hansr/Cauchyproblem.pdf" target="_blank">https://people.kth.se/~hansr/Cauchyproblem.pdf</a></td> </tr></table><span class="postbody"> <br /> <br />Danke für den Link. Eine ganz gute Diskussion des Anfangswertproblems habe ich inzwischen auch in Walds Buch in Form von Theorem 10.2.2 gefunden. Man kann die Details überspringen und hat trotzdem eine ganz gute Idee, worum es geht. Ich versuche das mal zusammenzufassen, so wie ich es verstanden habe. <br /> <br />Man spezifiziert eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit Metrik und (äußerer) Krümmung (das heißt man gibt neben der Metrik gibt noch einen symmetrischen Tensor 2. Stufe vor). Metrik und Krümmung sind nicht beliebig vorgebbar, sondern müssen noch bestimmte Bedingungen erfüllen, die sich aus den Einsteingleichungen ergeben. Dies sind die Anfangsbedingungen. Die äußere Krümmung ist im wesentlichen die Ableitung der Metrik in Normalenrichtung (also die Ableitung nach t). Die Anfangsdaten passen also zu einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit. <br /> <br />Nun gelten Existenz und Eindeutigkeit in der folgenden Form: <br /> <br />Es existiert eine <span style="font-style: italic">global hyperbolische</span> Raumzeit (globale Hyperbolizität ist also eine Folgerung, keine Voraussetzung des Theorems!), mit Cauchy-Fläche, die der vorher spezifizierten 3-d-Mannigfaltigkeit entspricht (wie genau muß natürlich präzisiert werden, aber das ist ein Detail). Die Metrik der Raumzeit erfüllt die Einsteingleichungen und die Anfangsbedingungen, indem sie die vorher gegebene 3er-Metrik und äußere Krümmung auf der Cauchy-Fläche induziert. <br /> <br />Die Raumzeit ist eindeutig in dem Sinne, daß jede weitere Raumzeit, die die bisher genannten Bedingungen erfüllt <span style="font-style: italic">isometrisch</span> zur ersten ist.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2016 13:22<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Ich möchte das einmal aus meiner ganz bescheidenen Sicht wiedergeben: Vielleicht kann mir jemand sagen, ab welcher Stelle ich falsche Argumente liefere. <br /> <br />Mache ich eine Transformation T: x --> x', so ist die transformierte Metrik eine Funktion der neuen Koordinaten: G(x) --> G'(x'). Die konkrete Abhängigkeit ist verschieden zu G(x), aber es wird die gleiche Physik beschrieben, nur eben in einem anderen Koordinatensystem - z.B. gedreht. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Frage: Sehe ich das wenigstens bis jetzt korrekt?</span> <br /> <br />Das neue beim Loch-Argument ist nun aber, dass die Transformation irgendwie "aktiv" verstanden wird; man betrachtet dann die Funktion G'(x), welche aufgrund der Kovarianz ebenfalls eine mögliche Lösung darstellt. Für jeden Punkt X im Koordinatensystem x wird der Funktionswert G(X) durch den Wert der Funktion G'(X) mit gleichen Argument X ersetzt. Da G' aber anders aussieht als G, haben gleiche Koordinaten in x unterschiedliche Werte für G, nämlich einmal G(x) und einmal G'(x). <br /> <br />Da der Außenraum hingegen unverändert ist, stellt man fest, dass die Lösung im Loch nicht eindeutig durch die Umgebung festgelegt ist. <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Frage: Ist es das, was das Argument sagen will?</span> <br /> <br />Falls ja, wie kommt man dann aus der Misere raus? Wieso sollen G'(X) und G(X) zueinander äquivalent sein und die gleiche Physik beschreiben: Beispielsweise müsste eine Geodäte im originalen Loch durch die gleichen Koordinaten wie im transformierten Loch gehen? ansonsten wäre die Trajektorie einer Probemasse durch den R4 messbar unterschiedlich... <br /> <br /><span style="font-weight: bold">Frage: Ist diese Sicht noch richtig? Falls nein, wo habe ich abgebogen?</span> <br /> <br />Falls ja: wie kann man zeigen, dass die beiden Felder G(x) und G'(X) äquivalent sind? Ich muss zugeben, dass sich mein Kopf dreht, und ich das Gefühl habe, dass es hier wirklich zur Sache geht... <br /> <br />Leider habe ich nichts gefunden, was die Gleichartigkeit beider Beschreibungen mathematisch zeigt. Stattdessen jede Menge philosophische Prosa, die ich in meiner Gedankenwelt zur ART leider noch nicht nicht abbilden kann. Ist die Frage etwa rein philosophischer Natur und mathematisch unzugänglich? Kann ich mir nicht vorstellen, denn sonst brauchen wir hier keine Physik mehr betreiben. <br /> <br /> <br /> <img src="images/smiles/biglaugh.gif" alt="Big Laugh" border="0" /></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 21. Jan 2016 00:36<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Unter der Voraussetzung der globalen Hyperbolizität wird die Diskussion der Constraints und der "Zeitentwicklung" wesentlich vereinfacht im 1st-order oder kanonischen Formalismus (oder speziell für Ashtekar-Variablen). <br /> <br />Zurück zum Thema: M.E. muss es heißen: <span style="font-style: italic">Die Einsteinschen Feldgleichungen sind bei geeigneten Anfangs- oder Randbedingungen eindeutig lösbar modulo Diffeomorphismen.</span> Oder alternativ: <span style="font-style: italic">Zwei Raumzeiten - spezifiziert durch Karten sowie eine Metrik - sind physikalisch äquivalent, genau dann wenn sie diffeomorph sind.</span></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>jh8979</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2016 23:56<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody"></span><table width="90%" cellspacing="1" cellpadding="3" border="0" align="center"><tr> <td><span class="genmed"><b>index_razor hat Folgendes geschrieben:</b></span></td> </tr> <tr> <td class="quote"> <br />P.S. Ich vermute mal bei der "vorsichtigen" Formulierung des Cauchy-Problems wird dann sowas wie "Eindeutigkeit der Lösung bis auf Isometrie" oder etwas ähnliches rauskommen.</td> </tr></table><span class="postbody"> <br />Das Cauchy-Problem ist in der ART in der Tat alles andere als trivial. Schau mal hier für eine kleine Einführung: <br /><a href="https://people.kth.se/~hansr/Cauchyproblem.pdf" target="_blank">https://people.kth.se/~hansr/Cauchyproblem.pdf</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>index_razor</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2016 23:39<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Das Paradoxon ergibt sich aus dem Verweis auf das Cauchy-Problem. <br /> <br />Die Metrik außerhalb des Loches definiert zusammen mit den Einsteingleichungen im Inneren des Loches eine <span style="font-weight: bold">eindeutige</span> Metrik (als Funktion der Raumzeitpunkte). Außerhalb des Loches wird aber nun laut Voraussetzung durch die Transformation nichts geändert. Im Gegensatz dazu ist innerhalb des Loches die Metrik jetzt aber eine andere. Da die Einsteingleichungen aber allgemein kovariant sind (sein sollen), muß es sich bei der so transformierten Metrik wieder um eine Lösung handeln, im scheinbaren Widerspruch zur Eindeutigkeit der Lösung des Cauchy-Problems. <br /> <br />Wie formuliert denn das Buch das Cauchy-Problem genau? Und wie löst es das Paradoxon? Das würde mich interessieren. <br /> <br />P.S. Ich vermute mal bei der "vorsichtigen" Formulierung des Cauchy-Problems wird dann sowas wie "Eindeutigkeit der Lösung bis auf Isometrie" oder etwas ähnliches rauskommen.</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2016 22:24<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Danke einmal, TomS! <br />Zu einem gegebenen System und Koordinatensystem S gehört dann eine eindeutige Metrik g. Das transformierte System S' hat dann die Metrik g'. Insofern ist mir klar, das beides das gleiche physikalische System beschreibt. Alle Paare (S, G) die durch Koordinatentransformationen ineinander überführbar sind, bilden also eine "Äquivalenzklasse". Sehe ich das einmal richtig? Soweit denke ich, dass ich das verstanden habe. Paradox ist hier einmal gar nichts... <br /> <br />Aber wo liegt nun der Casus-Knaxus bei dem angesprochenen Lochmodell? <br />Irgendwo steige ich dazwischen aus und ich kann das Wesentliche bei diesem Paradoxon nicht greifen...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>TomS</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2016 21:17<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Vielleicht fangen wir andersherum an. <br /> <br />In der ART ist eine Mannigfaltigkeit M gegeben, auf der Koordinatensysteme S, S', ... definiert werden, und auf denen eine Metrik g existiert. Unterschiedliche Koordunatensysteme und unterschiedliche Metriken müssen nicht zwingend unterschiedliche Physik bedeuten! Wenn ich eine Koordinatentransformation von S nach S' durchführe ordne ich dem <span style="font-style: italic">selben</span> Punkt P <span style="font-style: italic">unterschiedliche</span> Koordinaten zu, und es werden unterschiedliche in diesem einen Punkt <span style="font-style: italic">unterschiedliche</span> Metriken resultieren. Die Physik bleibt gleich. <br /> <br />Eine physikalische Situation wird also nicht durch <span style="font-style: italic">ein</span> Koordinatensystem und <span style="font-style: italic">eine</span> Metrik beschrieben, sondern durch die Äquivalenklasse (bzgl. Difeomorphismen) <span style="font-style: italic">aller</span> Koordinatensysteme und <span style="font-style: italic">aller</span> zugehörige Metriken. <br /> <br /><a href="http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-holearg/" target="_blank">http://plato.stanford.edu/entries/spacetime-holearg/</a></span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2016 14:52<span class="gen"> </span> Titel: </span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">wo ich konkret hänge: <br /> <br />Das T außerhalb des Lochs führt im Inneren des Lochs zu einem metrischen Tensor G(x). <br /> <br />Unter der "Lochtransformation" x->x' habe ich im Inneren des Lochs ein G'(x'), welches ja aber die gleiche Situation wie G(x) beschreibt: ich habe ja nur das Koordinatensystem gewechselt. Wo ist da da ein Paradoxon? <br /> <br />Oder meint man etwa , dass die Lösung G(x') dann ebenfalls gültig wäre, und man daher zumindest zwei verschiedene Innenlösungen zu einer festen Außenlösung hätte? Falls das gemeint ist, sehe ich aber nicht, wieso dies der Fall sein sollte *Brett vorm Kopf* ...</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row2"><span class="name"><a name=""></a><b>schnudl</b></span></td> <td class="row2" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 20. Jan 2016 13:44<span class="gen"> </span> Titel: Einstein'sches Lochproblem</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Kann mir jemand das "Problem" hinter dem "Lochproblem" erklären? Ich verstehe nur Bahnhof... <br /> <br />Es geht offenbar darum, dass die Metrik im Inneren der Blase durch den Außenraum und die Randbedingungen determiniert ist. Nun wird eine Koordinatentransformation in der Blase durchgeführt, während außen alles beim alten bleibt. <br /> <br />Warum kann man sagen, dass g' zwar verschieden von g ist, aber dennoch die gleiche Lösung repreäsentiert? Die Masseverteilung ist ja anders. Ich habe sowieso ein Problem mit der erwähnten "aktiven" Transformation, denn wenn sich die Massen tatsächlich an andere Stellen bewegen, ist das physikalische System doch ein anderes...Unter Koordinatentransformation versteht man doch normalerweise eine passive. Ich kann mir das 100x durchlesen und werde trotzdem nicht schlau daraus... <br /> <br />Vielleicht kann es mir jemand für Dummies erklären? <br /> <br />Danke !</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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