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<table border="0" cellpadding="3" cellspacing="1" width="100%" class="forumline"> <tr> <th class="thCornerL" width="22%" height="26">Autor</th> <th class="thCornerR">Nachricht</th> </tr> <tr> <td width="22%" align="left" valign="top" class="row1"><span class="name"><a name=""></a><b>pompom</b></span></td> <td class="row1" height="28" valign="top"><table width="95%" border="0" cellspacing="0" cellpadding="0"> <tr> <td width="95%"><img src="templates/subSilver/images/icon_minipost.gif" width="12" height="9" alt="Beitrag" title="Beitrag" border="0" /><span class="postdetails">Verfasst am: 16. Aug 2026 21:18<span class="gen"> </span> Titel: Virtuelle Verrueckungen</span></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><hr /></td> </tr> <tr> <td colspan="2"><span class="postbody">Hallo, <br /> <br /> <br />Wir betrachten ein System von N Massenpunkten mit k holonomen Zwangsbedingungen: <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?g_i ( \vec{r}_1 , \vec{r}_2 , \hdots , \vec{r}_N , t ) = 0 \ , \quad i = 1,2, \hdots , k \ . "> <br /> <br /> <br /> <br />Eine virtuelle Verr\"uckung <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\delta \vec{r}= ( \delta \vec{r}_1 , \delta \vec{r}_2 , \hdots , \delta \vec{r}_N )"> muss mit den Zwangsbedingungen vertr\"aglich sein, d. h. <br /> <br /> <br /> <br /> <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? g_i (\vec{r}_1 + \delta \vec{r}_1 , \vec{r}_2 + \delta \vec{r}_2 , \hdots ,\vec{r}_N + \delta \vec{r}_N , t ) = 0 \quad \text{f\"ur alle $i= 1,2, \hdots , k$.} "> <br /> <br /> <br />Da <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? g_i (\vec{r}_1 , \hdots , \vec{r}_N , t )=0 "> ist, gilt dann <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? 0 = g_i (\vec{r}_1 + \delta \vec{r}_1 , \hdots ,\vec{r}_N + \delta \vec{r}_N , t ) -g_i (\vec{r}_1 , \hdots , \vec{r}_N , t ) = \nabla g_i ( \vec{r}_1 , \hdots ,\vec{r}_N , t ) \cdot \delta \vec{r} \ , "> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />wobei <img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php?\nabla = ( \nabla_1 , \nabla_2 , \hdots , \nabla_N)"> ist. <br /> <br />Das heisst, jede virtuelle Verrueckung ist ein Element von <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? \text{Kern} \, A = \left\{ \vec{x} \in \mathbb{R}^{3N} \mid A \, \vec{x} = 0 \right\} "> <br /> <br />mit <br /> <br /><img class="latex2png" src="https://www.matheboard.de/latex2png/latex2png.php? A := \begin{pmatrix} ( \nabla g_1 )^\mathrm{T} \\ ( \nabla g_2)^\mathrm{T} \\ \vdots \\ ( \nabla g_k )^\mathrm{T} \end{pmatrix} \ . "> <br /> <br /> <br />mit Rang A = k, da die Gradienten linear unabhaengig sind. <br /> <br /> <br />Nun moechte ich zeigen, falls ueberhaupt moeglich, dass die Menge aller zulaessigen virtuellen Verrueckungen mit Kern A uebereinstimmt. Also ich muesste zeigen, dass jedes Element von Kern A eine zulaessige virtuelle Verrueckung darstellt. Leider sehe ich nicht, wie man das machen koennte. <br /> <br />Der Grund dafuer: <br /> <br />Sei U die Menge aller virtuellen Verrueckungen. <br /> <br />Ich moechte zeigen, dass das orthogonale Komplement von U, also die Menge aller Vektoren, die zu jedem Vektor von U senkrecht stehen, die Dimension k hat. Dann bilden die k unabhaengigen Gradienten eine Basis dieses orthogonalen Komplements. <br /> <br />Wenn U = Kern A ist, gilt nach der Dimensionsformel dim U = dim Kern A = 3N - Rang A = 3N-k . Die Dimension des orthogonalen Komplements ist dann gerade 3N - dim U = k . <br /> <br /> <br />Vielen Dank fuer Eure Hilfe!</span></td> </tr> </table></td> </tr> <tr> <td colspan="2" height="1" class="spaceRow"><img src="templates/subSilver/images/spacer.gif" alt="" width="1" height="1" /></td> </tr> </table>
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