Physikerboard.de :: Thema-Überblick

MI · Verfasst am: 06. Sep 2012 08:42 Titel:

Noch mal genau hinschauen: Das Skalarprodukt ist mit der Ableitung des Weges (wenn man schneller durch den Weg rauscht, dann muss das gewichtet werden) - die Ableitung der Konstanten verschwindet aber!

Zur Verständnisfrage:
Ein Weg ist ja im Grunde etwas eindimensionales. Genauer ist ein Weg eine Funktion, die die reelle Achse (oder ein Teilintervall) in den IR^n abbildet - in unserem Fall stückweise differenzierbar.
Was die Formel jetzt eigentlich aussagt ist, dass du den Weg quasi auf den eindimensionalen Fall "zurückziehst". Vielleicht kann man sich das wirklich so vorstellen, als ob du das Vektorfeld "verzerrst" und dann nur noch einen geraden Weg hast und dies geschieht eben, indem du den Raum wechselst. Anstatt hier auf dem IR^2 einen Weg zu benutzen, hast du nur noch einen Weg mit zwei Endpunkten in IR.

Das lässt sich schöner in der Sprache der Differentialgeometrie ausdrücken: Eine solche Operation läuft da unter dem Namen "Pullback".

Gruß
MI

Nighel123 · Verfasst am: 06. Sep 2012 00:31 Titel:

Aha! macht er dann bei dem Wegstück (0,1) zu (1,1) nicht sogar einen Fehler? Weil da wäre des Wegstück doch gegen mit:

und dann fällt im Skalaprodukt die y Komponente gar nicht weg wie sie es bei ihm tut, sondern ist gleich 2t-1.

Und dann habe ich noch eine Frage:

Bei der Parametrisierung denke ich mir ja irgendeinen Weg aus. sagen wir mal ich nehme jetzt:

dann setze ich ja jetzt für das Kraftfeld was oben angegeben war einfach die x Komponente für x ein und die y Komponente für y. Heißt das ich verzerre das Kraftfeld so, dass die Kurve eigentlich gerade durchläuft? Oder wie ist das zu verstehen?

Gruß Nickel

Packo · Verfasst am: 05. Sep 2012 18:59 Titel:

MI hat dies perfekt erklärt.
Die Schreibweise der Integralgrenzen mit zweifachen Koordinaten ist schlichter Unsinn. Allerdings ist es zulässig die Parameter auch mal x und y anstatt t zu nennen.

MI · Verfasst am: 05. Sep 2012 17:53 Titel:

franz hat ja schon erwähnt, dass grundsätzlich die Rechnung nicht falsch ist. Irritierend ist hier in der Tat die Schreibweise.
Persönlich würde ich eine solche Schreibweise nicht verwenden, ich bin mir gerade auch nicht sicher, ob sie wirklich außerhalb des hier skizzierten Spezialfalls funktioniert (müsste ich durchrechnen) - vermutlich ist sie schlicht falsch.

Wir haben hier einen Weg, nämlich den um das Quadrat (0,0) bis (1,1) entgegen dem Uhrzeigersinn.
Bezeichnen wir diesen Weg mal mit

.
Der Weg besteht aus vier Teilstücken,

mit i=1,2,3,4, wobei das genau die gerade Verbindung zwischen jeweils zwei Grenzen deiner Integrale sein soll.

Wir können also zunächst schreiben (dabei bezeichnet ds das Kurvenelement):

.

So, und jetzt müssen wir den Weg parametrisieren. Die einfachste Form - hier mal für

, also den Weg zwischen (0,0) und (1,0):

Und dann kann man die Definition (!) des Kurvenintegrals verwenden:

-----

Was dein Freund macht, er macht so etwas ähnliches, allerdings eben nur fast. Aus

macht er entweder

oder

. Im Grunde nimmt er die einfachste Parametrisierung und führt das Skalarprodukt, was ich da oben angesprochen habe, aus. Er führt also den Teil

aus, wobei er die Variable wieder

nennt (legitim), setzt aber nicht

in

ein, sondern lässt das in den Grenzen.

Gruß
MI

Nighel123 · Verfasst am: 05. Sep 2012 14:47 Titel:

sry versteh das noch nicht ganz mit Rotation unso...

also wenn ich jetzt einen Weg gehe der parallel zur x-Achse ist, dann fällt der y-Kraftanteil des Feldes weg? Ist das so? Die Kraft die auf einen Punkt der entlängs eine Funktion läuft hängt davon ab, welche Steigung der Funktion an diesem Punkt herrscht. Oder anders gesagt, aus welcher Richtung er kommt. Ist das so bei Kraftfeldern?

Gruß Nickel

franz · Verfasst am: 03. Sep 2012 09:16 Titel:

Die Rotation des Feldes ist konstant und verschieden null, also müßte nach dem Satz von Stokes das Ringintegral um beliebige endliche Flächen auch verschieden null sein.

Wie.funktioniert.es · Verfasst am: 03. Sep 2012 05:57 Titel:

kann man so etwas lösen wenn man x,y von 0,0 bis 4,4 dann von 4,4 zu 3,2 und zurück auf 0,0 integriert und alles addiert?

Weil da hat man ja 2 unterschiedliche Wege, zum selben Ziel.

franz · Verfasst am: 03. Sep 2012 05:13 Titel:

und den Vorschlag oben kann man durchaus nehmen

Wie.funktioniert.es · Verfasst am: 03. Sep 2012 04:23 Titel:

funktioniert mein vorschlag mit 0-1 und dann 1-0 integrieren???

leider war bei der regestrierung kein platz mehr für das nicht Big Laugh

mr.whoopee · Verfasst am: 03. Sep 2012 04:16 Titel:

An "Wie.funktioniert.es" oder in diesem Fall wohl besser an "Wie.funktioniert.es.nicht" :-)

schöner Link, aber leider nur mit teilweise richtigen Inhalt.
Die Rotation des Vektorfeldes ist nur "scheinbar" Null da es sich hierbei um keinen einfach zusammenhängenden Bereich handelt folgt aus rot=0 nicht Weginteral gleich wegunabhängig.
(Der Bereich ist aufgrund der Definitionslücke im Ursprung nicht einfach zusammenhängend)

Wie.funktioniert.es · Verfasst am: 03. Sep 2012 03:55 Titel:

berechne es doch einfach mit der Rotation

rot F(x,y)=0 => konservatives Kraftfeld

da steht wie es geht, etwas weiter unten

http://www.onlinemathe.de/forum/Rotation-berechnen-konservatives-Kraftfeld

oh, das ist ja offenbar nicht gewünsch.

du kannst doch einfach von 0-1 und dann von 1-0 integrieren und addieren, aber da kommt dann immer 0 heraus.

so weit ich weiß sind nicht konservative kraftfelder meist so sinus sachen.

Nighel123

Moin,

wir haben die Aufgabe:

Gegeben sei das Kraftfeld

. Entscheiden Sie anhand einer geeigneten Wegintegration, ob dieses Kraftfeld konservativ ist.

bekommen.

Ich habe von einem Freund folgende Lösung dafür bekommen:

was mich verwirrt ist, dass bei einem Einfach Integral zweidimensionale Koordinaten verwendet werden. Darf man das weil immer die Komponente über die nicht integriert wird konstant bleibt?

Gruß Nickel