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Jayk	Verfasst am: 06. Jan 2014 13:59    Titel: Ah, okay. Das macht wirklich Sinn. Danke!
Sirius	Verfasst am: 06. Jan 2014 13:56    Titel: Mathematisch korrekt werde ich es dir nicht erklären können, aber vielleicht kann ich dir trotzdem weiterhelfen. Im obigen Fall gilt und somit auch , wie du schon weiter vorne gesagt hast. Die Unterscheidung zwischen und mache ich deswegen, um bei den zeitlichen Ableitungen besser zu sehen, aus welchem System heraus ich sie betrachte. Denn auch wenn , gilt trotzdem: Die zeitliche Änderung eines Vektors aus heraus betrachtet ist einfach etwas anderes, als die zeitliche Änderung des gleichen Vektors von aus gesehen. Das sieht man gut, wenn man mal den einfachsten Fall betrachtet: in komme ich zur Aussage, dass die zeitliche Änderung von Null ist, in hingegen führt eine Drehbewegung aus. Auch wenn also , so muss ich trotzdem schreiben:
Jayk	Verfasst am: 06. Jan 2014 13:21    Titel: Die Rechnung wirkt plausibel. Ich muss aber nochmal darüber nachdenken, denn irgendwie klingt die Idee, zwei verschiedene Zeiten zu betrachten, etwas zu mystisch für mich. Insbesondere habe ich noch ein paar Zweifel, ob das wirklich der Grund für das Ergebnis der Rechnung ist. Kannst du so spontan sehen, an welcher Stelle der entscheidende Unterschied ist? Ich sehe ihn im Moment nicht. Es wäre auch interessant, mal noch eine Drittmeinung dazu zu hören. Womit ich mich im Moment mehr anfreunden kann, ist der Gedanke, dass aus nicht folgt, weil die Vektoren eben "in different spaces" liegen. Zwar steht im Arnol'd als Definition einer "motion", dass die Metrik erhalten bleiben soll. Die Metrik wird aber in Kapitel 1 definiert: Betrachtet wird stets ein vierdimensionaler affiner Raum, wobei die Differenz zwischen zwei Elementen eines affinen Raums ein Element eines Vektorraums ist. Dann wird erst die Zeit als lineare Abbildung eingeführt, wobei die Parallelverschiebungen zwischen gleichzeitigen Ereignissen beschreibt. Und nur für solche wird die Distanz definiert: . Ich gehe davon aus, dass Arnol'd "metric" und "distance" synonym verwendet. Am Ende stünde dann also die Erkenntnis, dass Rechnungen mit Radiusvektoren zu verschiedenen Zeitpunkten prinzipiell vom Koordinatensystem abhängig sind.
Sirius	Verfasst am: 05. Jan 2014 23:47    Titel: Jayk hat Folgendes geschrieben: Sirius, ich sehe nicht, was das ändert. Wenn ich Zeit definiere als das, was eine Uhr anzeigt, habe ich doch ohne Weiteres , oder? Nehmen wir an, sei ein Inertialsystem mit Basis und ein relativ dazu mit rotierendes System mit gleichem Ursprung und Basis . Dann gilt: Für die Geschwindigkeiten erhalte ich dann:
Jayk	Verfasst am: 05. Jan 2014 22:37    Titel: DrStupid hat Folgendes geschrieben: Jayk hat Folgendes geschrieben: Was meinst du? Ich meine, dass nicht zu allen Zeitpunkten gilt. Ah, okay. Mit dem Hinweis von Arnol'd wird eine Aussage wie natürlich sinnlos. Wenn man aber mal von solchen Kleinigkeiten absieht, kann man zumindest aussagen, dass Ursprung der Koordinatensysteme sowie der Aufenthaltsort des betrachteten Teilchens in beiden Systemen zu allen Zeitpunkten gleich sind, womit auch der Vektor, der die beiden Punkte verbindet (nämlich der Radiusvektor), zu allen Punkten gleich ist. Was spricht dagegen? Wie würdest die die Aussage richtig formulieren?
DrStupid	Verfasst am: 05. Jan 2014 22:29    Titel: Jayk hat Folgendes geschrieben: Was meinst du? Ich meine, dass nicht zu allen Zeitpunkten gilt.
Jayk	Verfasst am: 05. Jan 2014 22:09    Titel: adsadsd hat Folgendes geschrieben: Koordinatenunabhängig kann man es mit Hilfe eines Tangentialraums definieren. Das klingt interessant. Ich werde mir zum Tangentialraum mal die entsprechenden Stellen im Arnol'd und im Scheck ansehen. Ich vermute aber, das ist die Antwort, die ich gesucht habe. DrStupid hat Folgendes geschrieben: Oder umgekehrt. Was meinst du? Ich dachte bis jetzt immer, die Definition von Geschwindigkeit wäre die Ableitung des Ortsvektors, und dann hätte ich Oder meinst du, dass ist? Also ich finde das zumindest anschaulich, dass es so ist, und würde eine Definition, die das nicht hergibt, als unzweckmäßig betrachten. Immerhin wird aus dieser Aussage eine richtige Aussage hergeleitet (nämlich u. a. die Coriolis-Kraft), dann scheint sie wohl zweckmäßig zu sein.
adsadsd	Verfasst am: 05. Jan 2014 21:46    Titel: Koordinatenunabhängig kann man es mit Hilfe eines Tangentialraums definieren.
DrStupid	Verfasst am: 05. Jan 2014 21:39    Titel: Re: Definition von Geschwindigkeit Jayk hat Folgendes geschrieben: Wenn zu allen Zeitpunkten gilt, dann wäre mit der Definition als Ableitung des Radiusvektors nach der Zeit , aber für sind die beiden ja eben gerade nicht gleich. Oder umgekehrt.
Namenloser324	Verfasst am: 05. Jan 2014 21:39    Titel: Vermutung: Unterschiedliche Basis. Dadurch hat das selbe Element des Vektorraumes eine andere Koordinatendarstellung.
Jayk	Verfasst am: 05. Jan 2014 21:12    Titel: Sirius, ich sehe nicht, was das ändert. Wenn ich Zeit definiere als das, was eine Uhr anzeigt, habe ich doch ohne Weiteres , oder? (EDIT: Abgesehen davon muss es doch einen Zusammenhang zwischen den Zeiten geben, damit die Aussagen überhaupt einen Sinn haben, und in der klassischen Mechanik sollte es doch kein Fehler sein, eine absolute Zeit anzunehmen) Apropos Arnol'd, ich war bis jetzt noch gar nicht auf die Idee gekommen, dass das Buch eigentlich wie gemacht ist für die Frage. Ich bin hier auf eine interessante Stelle gestoßen (Kapitel 6, "Rigid bodies", bei mir auf Seite 124): Zitat: Definition. Let k und K be oriented euclidean spaces. A motion of K relative to k is a mapping smoothly depending on t: , which preserves the metric and the orientation. ... [Kontext: Bt bezeichnet eine Rotation, Definition: A motion is called a rotation if it takes the origin of K to the origin of k, i.e., if is a linear operator.] Warning. The vector should not be confused with – they lie in different spaces! Hat jemand Lust, mir zu erklären, wie die Warnung zu verstehen ist? Das klingt jetzt so ein bisschen wie "darüber darf man nicht reden, das ist nicht definiert". Was genau macht die beiden Räume unterschiedlich?
Sirius	Verfasst am: 05. Jan 2014 21:00    Titel: Bei solchen Betrachtungen lohnt es sich meiner Erfahrung nach immer, auch die Zeit zwischen den Systemen explizit zu unterscheiden, also und . So sind z.B. die Basisvektoren von abhängig von und die von abhängig von . Die Geschwindigkeit ist damit identisch definiert:
Jayk	Verfasst am: 05. Jan 2014 20:59    Titel: Re: Definition von Geschwindigkeit DrStupid hat Folgendes geschrieben: Jayk hat Folgendes geschrieben: Okay, offenbar gelten nicht und gleichzeitig Sicher? Wenn zu allen Zeitpunkten gilt, dann wäre mit der Definition als Ableitung des Radiusvektors nach der Zeit , aber für sind die beiden ja eben gerade nicht gleich. Anschaulich ist es so, dass ein Körper in einem rotierenden Bezugssystem eine Geschwindigkeit hat, wenn er in einem nicht rotierenden Bezugssystem mit demselben Ursprung ruht. Das Problem muss doch irgendwie formulierbar sein, ohne Koordinaten festzulegen. Dachte ich jedenfalls, wobei diese Idee ganz schön absurd ist, da ja der Ausdruck "rotierend" schon impliziert, dass man irgendwelche Richtungen fixiert. Im Buch "Mathematical Methods of Classical Mechanics" von Arnol'd wird ein "galilean coordinate-space" im wesentlichen dadurch definiert, dass er einen Punkt im affinen Raum in den abbildet, wobei allerdings mit einfach nur ein dreidimensionaler reeller Vektorraum gemeint ist, kann also sowohl ein euklidischer Vektor als auch die Koordinatendarstellung sein.
DrStupid	Verfasst am: 05. Jan 2014 20:49    Titel: Re: Definition von Geschwindigkeit Jayk hat Folgendes geschrieben: Wie ist Geschwindigkeit definiert? Üblicherweise als Ableitung des Ortes nach der Zeit. Jayk hat Folgendes geschrieben: (Insbesondere in Nicht-Inertialsystemen) Das spielt keine Rolle. Jayk hat Folgendes geschrieben: Okay, offenbar gelten nicht und gleichzeitig Sicher?
Jayk	Verfasst am: 05. Jan 2014 20:25    Titel: Definition von Geschwindigkeit Meine Frage: Wie ist Geschwindigkeit definiert? (Insbesondere in Nicht-Inertialsystemen) Meine Ideen: Es ist mir schon ein bisschen peinlich, dass ich diese Frage stellen muss, aber ich tue es trotzdem. Um die Frage zu verstehen, vielleicht erstmal der Grund, weshalb ich die Frage stelle. Ich bin im Landau/Lifschitz Bd. 1, §39 "Bewegung in einem beschleunigten Bezugssystem", S. 157 über folgende Stelle gestolpert: Zitat: Wir führen nun noch ein Bezugssystem K ein, das mit dem System K' einen gemeinsamen Nullpunkt hat, sich aber gegen K' mit der Winkelgeschwindigkeit dreht; im Inertialsystem führt das System K sowohl eine Translations- als auch eine Rotationsbewegung aus. Die Geschwindigkeit des Teilchens bezüglich des Systems K' setzt sich aus seiner Geschwindigkeit im System K und aus der Geschwindigkeit seiner Rotation zusammen, die es mit dem System K gemeinsam durchführt, also (die Radiusvektoren und des Teilchens in den Systemen K und K' fallen zusammen). Okay, offenbar gelten nicht und gleichzeitig, womit sich die Frage gestellt, wie, wenn nicht als Zeitableitung des Radiusvektors, Geschwindigkeit definiert ist. Ist mein Problem erstmal verständlich? Okay, mir ist natürlich die Formulierung "fallen zusammen" aufgefallen. Ich habe das jetzt einfach als Gleichheit interpretiert, es geht hier ja in etwa um euklidische Vektoren. Also ich habe jetzt kein Problem damit, über Einheiten hinweg zu sehen, aber ich würde hier gerne zwischen den euklidischen Vektoren und ihren Darstellungen im unterscheiden. Mir ist zunächst mal etwas aufgefallen. Wenn man nämlich Geschwindigkeit komponentenweise definiert, ergibt sich dieses Problem nicht. Ich werde hier zur Unterscheidung euklidischen Vektoren einen Pfeil verpassen und Vektoren im R³ ganz normal kursiv (und fett, wie es in diesem Forum nun mal leider ist) setzen. Wenn ich jetzt zwei Systeme K und K' mit Basen B und B' habe (wobei B zeitlich konstant sei), die einen gemeinsamen Ursprung haben, ist natürlich der Radiusvektor der selbe. Ich kann dann ansetzen (in der Schreibweise, die wir in Linearer Algebra verwenden): und damit habe ich folgenden Zusammenhang was ja zumindest vernünftig erscheint. Nur finde ich es nicht befriedigend, Geschwindigkeit koordinatenabhängig zu definieren? Wie löst man diesen Widerspruch? Ich weiß natürlich "so ungefähr", wie die Stelle im Landau/Lifschitz gemeint ist, aber ich würde es gerne genau wissen.

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