 Verfasst am: 06. Mai 2016 08:54 Titel: |
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| Ich hab' jetzt ein bisschen weiter gerechnet. Mir erscheint das im wesentlichen identisch zum Beweis oben angeführten Beweis der Unitarität von F.
Zunächst mal ist V bereits diagonal, d.h. statt der Summe über das Indexpaar p,q tritt lediglich eine Summe über p auf. Dann erhält man eine Summe über p, die mittels der selben Methode der Partialsummen der geometrischen Reihe berechenbar ist. Ich erhalte soetwas wie ACHTUNG: ich habe mir nicht die Mühe gemacht, den Sonderfall n = 0 bzw. n = N-1 in V zu betrachten; evtl. resultiert daraus noch eine Modifikation, aber im wesentlichen sollte das stimmen. |
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| Verfasst am: 06. Mai 2016 06:16 Titel: Re: Diagonaler Operator |
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Kein Thema.
Verstehe ich nicht. Evtl. verwirrt es dich, dass die Operatoren V, F, immer komponentenweise in ihrer Wirkung auf einen Vektor psi dargestellt sind; das ist tatsächlich unschön, und deswegen habe ich auch die Notation geändert; man erkennt die wesentlichen Eigenschaften - zumindest bei F - am Operator selbst, ohne dessen Wirkung auf spezielle Zustände. Für b) würde ich zunächst mal exakt so vorgehen und in der oben eingeführten Notation berechnen. Zunächst hast du sechs Summen über drei Indexpaare mk, pq, ln die zwei über p,q fallen bei Skalaproduktbildung wg. Orthonormiertheit weg; es bleiben die Summen über m,k,l,n in der Form Evtl. kann man die innere Summe über k,l direkt ausführen und die Diagonalgestalt so wie für F direkt ablesen. PS. Ist das eine Aufgabe in Mathe oder Physik? Ich halte die Notation für seltsam. Bedeutet F* hier den adjungierten Operator? Ich denke schon, aber das wird in der Physik dich durch einen "dagger" gekennzeichnet. |
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| Verfasst am: 05. Mai 2016 23:31 Titel: |
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| Hey danke, aber mein problem war eigentlich b), d.h. die Diagonalität von F V F* zu zeigen. Die Unitarität der Fouriertrafo hatte ich schon. Sorry, falls das unklar war :/ | |
| Verfasst am: 05. Mai 2016 22:15 Titel: |
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| Nun setzt du
und berechnest Dabei fällt bei der Summenbildung nach Ausmultiplizieren ein Index wg. Orthonormiertheit und Kronecker-Delta weg. Nun folgende Überlegung: du sollst die Unitarität von F beweisen, d.h. du musst zeigen, dass der letzte Ausdruck dem Eins-Operator entspricht. Dazu betrachtest du zwei Fälle: Diagonalememente z = m - n = 0: Der Exponent ist Null, die Summe daher gleich N, aufgrund des Vorfaktors 1/N erhältst du also Eins. Nicht-Diagonalememente z = m - n > 0: Zu berechnen ist die Summe Dies entspricht der Partialsumme der geometrischen Reihe; damit zeigst du, dass dieser Ausdruck gleich Null ist. Daraus folgt letztlich |
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| Verfasst am: 05. Mai 2016 21:00 Titel: |
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| Danke! Das hilft mir sehr weiter, denn mein ursprünglicher Fehler war, dass ich vergessen hatte, dass der adjungierte Operator ja bei Matrizen nicht nur konjugiert sondern auch transponiet wird haha. | |
| Verfasst am: 05. Mai 2016 19:20 Titel: |
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| Jetzt stellst du F dar als
Dann überlegst du dir, was in dieser Matrixdarstellung bedeutet. Dazu am besten mal mit einer 4*4 - Matrix explizit rumspielen ... |
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| Verfasst am: 05. Mai 2016 19:04 Titel: |
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Hey, super für die Mühe, vielen Dank. Ich bin an die Dirac-Notation noch nicht so gewöhnt, daher kommentiere ich mal deine Zeilen, okay?
Das ist doch die Anwendung der Operatorendarstellung Die Basis hast du kurz notiert mit
Einfach die Darstellung von
Das ist dann auch klar.
Das erste Gleichheitszeichen folgt aus Einsetzen der Operatordarstellung oben. Das zweite aus dem Skalarprodukt für Orthonormalbasen (sonst dürfte es kein Kroneckerdelta ergeben). Das dritte dann über die Summe über alle m. (Es muss ja n+1 = m <=> n = m-1 gelten).
Das ist auch wieder nur Einsetzen der Operatordarstellung von der Gleichung zuvor und erneute Anwendung der "Orthonormalbasiseigenschaft" Soweit kann ich dir folgen. Und jetzt? |
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| Verfasst am: 05. Mai 2016 18:09 Titel: |
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| Ich lasse jetzt mal n = 0,1,2,... und den Spezialfall N-1 weg und betrachte einen unendlich-dimensionalen Hilbertraum.
Dann hast du den Verschiebeoperator Für den Zustand psi gilt Der Verschiebeoperator wirkt gemäß Soweit klar? (außer dass ich wohl V und V* irgendwie vertauscht bzw. +1 und -1 verwechselt habe) |
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| Verfasst am: 05. Mai 2016 17:38 Titel: |
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| Verstehe ich nicht.
V wäre V = {(0, 1, 0, ..., 0), (0,0,1,0,...,0), ... (0,...,1,0), (1,0,...,0)}. Richtig? Ich wüsste eigentlich eher gerne, ob ich überhaupt die Formel FVF* richtig verstehe. Die hat doch tatsächlich nur einen Parameter bzw. eine Variable, oder? Falls dem so ist, dann verstehe ich eben nicht, wieso man das Ergebnis als Matrix deuten kann. |
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| Verfasst am: 05. Mai 2016 17:27 Titel: |
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| V ist eine Matrix, die den n-ten Einheitsvektor auf den (n+1)-ten Einheitsvektor abbildet. Diese Matrix solltest du mal explizit hinschreiben.
Der diagonale Operator V' ist dann eine Matrix, die ausschließlich auf der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Einträge hat. |
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| Verfasst am: 05. Mai 2016 17:10 Titel: Diagonaler Operator |
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| Hallo,
folgende Aufgabe habe ich:  http://up.picr.de/25442988kj.jpg
Die ich hänge bei b) fest. So wie ich den Ausdruck verstehe, habe ich doch nur EINE (jede Transformation ersetzt ja die vorherige Variable durch eine neue) Variable und nicht etwa zwei, so dass ich nicht weiß, was ich unter Diagonal verstehen soll. Also: Wie ist das Diagonal hier zu verstehen? edit: ich erhalte bei meiner bisherigen Herangehensweise bei b) als Ergebnis: (FVF* Theta)(r) = (2/N)*exp((-2*pi*i/N)*r) * (Theta(0) + Theta(1) + ... + Theta(N-1)) Das sieht zwar schön aus, aber ergibt im Rahmen der Aufgabe nicht so viel Sinn. |
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