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Ari	Verfasst am: 13. Jun 2006 20:03    Titel: Gast hat Folgendes geschrieben: Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt des Kreises, so lassen sich X und Y in Abhängigkeit des Drehwinkels und des Radiuses über Sinus und Cosinus ausdrücken (man kann ja ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen). Ahh, da geht ein Licht auf, das hätt ich mir aber auch denken können *ditsch* Ich könnt mich an die Vektoren gewöhnen, man muss nur erstmal wissen, wies geht - habs gut verstanden, vielen Dank! as_string hat Folgendes geschrieben: Ich weiß nicht, ob Du schon weißt, wie man Sinus und Kosinus ableitet und wie das mit der Kettenregel geht, aber man kommt dann eben auf die Ableitungen von Gast. Mein Taschenrechner kann das zum Glück für mich erledigen ^^ Mathematisch genau hin oder her - ist ja Physik (und ist ja auch 3) deine Erklärung hat mir sehr geholfen! Wie para schon sagt, auch sehr schön und gut verständlich. Wow ich bin echt begeistert von euch, dass ihr euch die Zeit genommen habt alle meine Fragen zu beantworten, nochmal vielen Dank für die Mühe!
para	Verfasst am: 13. Jun 2006 16:21    Titel: as_string hat Folgendes geschrieben: Ich meine, ich hätte mal eine einfache Herleitung gesehen, die ohne Ableitungen und Vektoren auskam, sondern mehr direkt geometrisch war, irgendwie... Ich komm' nur nicht mehr drauf. Ich hab' auch überlegt, dass wir sowas mal im Unterricht hatten, aber den Weg hat Ari ja mittlerweile mit deinem Ansatz selbst gefunden und in ihren Post reineditiert. as_string hat Folgendes geschrieben: Edit: Oh, Gast war deutlich schneller! Und auch wirklich sehr schön erklärt! Danke, deine Erklärung war aber auch schön. Ich weiß zwar auch nicht warum ich nicht eingeloggt war, aber das kann mir ja jetzt erstmal nicht mehr passieren. ^^
as_string	Verfasst am: 12. Jun 2006 22:34    Titel: Hallo Ari! Da habe ich Dich ja glatt unterschätzt! Tut mir leid. Du hast deutlich mehr verstanden, als ich dachte! Bei Vektoren ist das so: Die Pfeile kann man eigentlich frei verschieben. Wenn man damit auf die Art "rechnen" will zumindest. Deshalb kann ich das v' von oben einfach nach unten schieben an den Startpunkt von v, damit ich graphisch die Differenz davon bilden kann. Vielleicht habt Ihr so was schon mal gemacht bei der schiefen Ebene mit den Kräften. Da zeichnet man ja normalerweise oben am Körper die Hangabtriebskraft ein, aber zeichnet den selben Pfeil nochmal unten an die Spitze des Normalenvektors, so dass beide zusammen den Gewichtskraft-Vektor ergeben. Wenn Du Dir z. B. die Bilder im Wiki mal anschaust (die Rechtecke) http://de.wikipedia.org/wiki/Schiefe_Ebene Die einzigen Vektoren, die man nicht so ohne weiteres "immer" verschieben kann, nennt man Ortsvektoren. Die gehen immer vom Koordinatenursprung aus. In diesem Bsp. wäre das der Vektor x, der die Position im festen Koordinatensystem angibt. Vektoren kann man so in Spalten angeben, wie das Gast ja sehr schön gemacht hat. Jede Zeile ist dann eine Komponente des Vektors. Wenn man für t Werte einsetzt, dann bekommt man immer die x- und y-Koordinate eines Punktes auf dem Kreis raus. Das macht das Sinus und Kosinus. D. h. ich gebe damit an, wo sich der Körper befindet bei einer bestimmten Zeit und zwar mit seiner x- und y-Koordinate. Normalerweise nennt man das dann aber x1 und x2 Koordinate, weil ja alles der x-Vektor ist. Du kannst also die erste Vektorgleichung von Gast in zwei einzelne Gleichungen aufteilen: Wenn man diese Position hat (also den x-Vektor) in Abhängigkeit der Zeit kann man den nach t ableiten und hat dann die Geschwindigkeit. Nochmal nach t ableiten und man hat die Beschleunigung. Was man in der Schule mit der Strecke lernt ist da etwas gefährlich. Im Eindimensionalen ist die Strecke ja normalerweise gerade die eine Komponente des x-Vektors. Wenn man sagt, er hat 1m Strecke zurückgelegt, dann hat man ja quasi seinen Koordinatenursprung an den Anfang der Bewegung gelegt und die zurückgelegte Strecke ist dann halt gerade die einzige Komponente des Ortsvektors. Die Ableitungen gehen jetzt ganz normal, einfach für jede Vektorkomponente getrennt. Ich weiß nicht, ob Du schon weißt, wie man Sinus und Kosinus ableitet und wie das mit der Kettenregel geht, aber man kommt dann eben auf die Ableitungen von Gast. Als letzten Schritt mit den Vektoren kommt jetzt das bilden eines Betrags. Das macht man einfach nach Pythagoras. Man hat ja eine Komponente, die in x-Richtung "zeigt" und die andere, die in y-Richtung zeigt, also sind die senkrecht aufeinander und bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Länge der Hypotenuse ist dann gerade der Betrag des Vektors. Also kommt man hin, wenn man die beiden Komponenten (bei 3 Dimensionen entsprechend 3 Komponenten) quadriert, dann zusammenzählt und zum Schluß die Wurzel zieht. Das hat Gast auch gemacht und weil sin² + cos² gerade gleich 1 ist, kommt das Ergebnis raus. Den Rest hast Du ja selbst schon richtig verstanden, glaube ich. Übrigens ist das mathematisch ziemlich ungenau, was ich da jetzt so geschrieben habe. Ich habe versucht das eher verständlich zu schreiben, so dass Du eine Vorstellung bekommst und nicht so sehr auf Korrektheit geachtet. Ich hoffe, dass Du so auch was verstehen konntest... Gruß Marco Edit: Oh, Gast war deutlich schneller! Und auch wirklich sehr schön erklärt!
Gast	Verfasst am: 12. Jun 2006 22:23    Titel: Ari hat Folgendes geschrieben: > Marco: In Mathe hatte ich Ableitungen schon, aber sowas wie Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung hatte ich noch nicht (im Endeffekt also keine Anwendung in der Physik). Wobei es logisch ist, dass wenn ich nach t ableite die Beschleunigung bekomme *ditsch* Bei der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit a ist das natürlich sehr trivial, aber das schöne ist eben, dass das Ganze universal ist, du also auch bei z.B. zeitabhängigem a die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt durch Ableiten der Geschwindigkeit erhalten kannst. (Einfaches Beispiel wäre z.B. der harmonische Oszillator bei dem sich v(t) direkt als s'(t) ergibt.) Ari hat Folgendes geschrieben: Zitat: Ich kann mir grad nicht vorstellen, was ist, wie es von abhängt und wie man auf die Formel kommt Sorry, das hätte ich vielleicht noch erklären sollen. ist der so genannte Ortsvektor. Er beschreibt die Lage des Körpers der die Kreisbewegung vollführt. Der Ortsvektor zeigt vom Koordinatenursprung zum Ort des Objekts, so dass die X-/Y-Komponente des Vektors der X-/Y-Koordinate des Objekts entsprechen. Legt man den Koordinatenursprung in den Mittelpunkt des Kreises, so lassen sich X und Y in Abhängigkeit des Drehwinkels und des Radiuses über Sinus und Cosinus ausdrücken (man kann ja ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen). Das r lässt sich gemäß der Rechengesetze für Vektoren vorziehen, da es mit allen Komponenten multipliziert wird. Ari hat Folgendes geschrieben: Das heißt, die Matrix stellt einen Vektor dar? (oben x- und unten y-Wert oder wie..?) Hm, ich dachte ihr seid schon bei Vektoren .. sorry, mein Fehler. ^^ - Ja, das ist eine mögliche Schreibweise für Vektoren wie sie recht gerne verwendet wird. Oben X-Komponente darunter die Y-Komponente. Ein Vektor ist ja im Prinzip eine eindimensionale Matrix. Das sieht jetzt vielleicht erstmal alles etwas neu aus, aber in Wirklichkeit hat man die Rechnungen dahinter schon vorher gemacht. Zum Beispiel zerlegt man die Geschwindigkeit beim schrägen Wurf in X- und Y-Komponente (also die Vektorkomponenten). Will man die resultierende zweier Geschwindigkeiten haben, addiert man ihre Komponenten (entspricht der Vektoraddition) und will man den Betrag einer Geschwindigkeit die sich aus zwei Komponenten senkrecht zueinander zusammensetzt haben, setzt man den Pythagoras an (Betrag von 2D-Vektoren). Die Rechnungen sind also weitestgehend schon bekannt, nur dass sie sich mit Vektoren kompakter und schöner aufschreiben lassen und noch ein paar mehr Möglichkeiten bieten (wie z.B. das einfache Zeigen der Rechtwinkligkeit). Ari hat Folgendes geschrieben: Die weitere Rechnung kann ich nachvollziehen. Also ist , das ist die Beschleunigung, die einen Körper von außen betrachtet in die Bahn "drückt". Dann wäre die Zentripetalkraft - wow.. Genau. Wenn du verstanden hast was ein Ortsvektor ist, und akzeptiert hast, dass die Ableitung des Ortsvektors der Geschwindigkeitsvektor sowie dessen Ableitung der Beschleunigungsvektor ist, hast du schonmal einen sehr großen Schritt gemacht. Rechnen mit Vektoren kann mitunter die Arbeit ziemlich erleichtern. Und sieht nebenbei auch noch schöner aus. ;-) Ari hat Folgendes geschrieben: Ohje, ich frag zu viel In Physik kann man fast nicht zu viel fragen. - Und ansonsten hab' ich zu große Neugier doch bis jetzt immer angemerkt, oder? :p
Ari	Verfasst am: 12. Jun 2006 21:42    Titel: Ich wurschtel mich da mal durch.. > Marco: In Mathe hatte ich Ableitungen schon, aber sowas wie Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung hatte ich noch nicht (im Endeffekt also keine Anwendung in der Physik). Wobei es logisch ist, dass wenn ich nach t ableite die Beschleunigung bekomme *ditsch* Also diesen Post kann ich soweit nachvollziehen. Zu der Zeichnung: Also das a, was du eingezeichnet hast, ist wirklich a, und die Verbindung von und dem verschobenen ist ? (dann "verschiebt" t den Vektor also nur auf der Kreisbahn, weil sich der Körper auf der Bahn in der Zeit t ja weiterbewegt?) Wenn dann t unendlich klein wird nähert sich immer mehr an, beide währen aufeinander bzw. parallel, also ist dann senkrecht zu ..ist das so richtig? Mir ist nur leider nicht klar, von welchen Werten a abhängt, also wie ich auf die Formel für a komme :-/ Zu dem Beitrag von Gast: Zitat: Ich kann mir grad nicht vorstellen, was ist, wie es von abhängt und wie man auf die Formel kommt..ist x die Bogenlänge? Weil ja und der Weg nach t abgeleitet die Geschwindigkeit ergibt () - oder versteh ich da jetzt was falsch? Kommen und wegen den Vektoren? Das heißt, die Matrix stellt einen Vektor dar? (oben x- und unten y-Wert oder wie..?) Die weitere Rechnung kann ich nachvollziehen. Also ist , das ist die Beschleunigung, die einen Körper von außen betrachtet in die Bahn "drückt". Dann wäre die Zentripetalkraft - wow.. Ohje, ich frag zu viel edit: wer suchet, der findet...hab etwas, das geometrisch funktioniert und Marcos Vorschlag nutzt Ich schreib mal schnell... (Zeichnung unten) Wobei ich das auch kompliziert, aber nachvollziehbar finde...allein komm ich da aber nicht drauf edit2: sorry, sehe grad eure Antworten - lese die mir aber erst morgen durch, ist schon spät :-/ danke aber schonmal =)
as_string	Verfasst am: 12. Jun 2006 20:44    Titel: Ich glaube aber nicht, dass man das verstehen kann, wenn man noch nie einen Betrag eines Vektors ausgerechnet hat, nichts über das Skalarprodukt weiß und auch noch nicht weiß, wie man überhaupt eine Ableitung macht bzw. was das überhaupt sein soll. Ansonsten ist Deine Herleitung sehr gut und anschaulich, soll also keine Kritik diesbezüglich sein. Nur bringt es wahrscheinlich Ari nicht so besonders viel, oder? Ich meine, ich hätte mal eine einfache Herleitung gesehen, die ohne Ableitungen und Vektoren auskam, sondern mehr direkt geometrisch war, irgendwie... Ich komm' nur nicht mehr drauf. Gruß Marco
Gast	Verfasst am: 12. Jun 2006 20:39    Titel: Naja, das mit dem Vektor ist jetzt nicht furchtbar kompliziert. Letztlich ist es ja nichts anderes als eine komponentenweise Schreibweise. Man muss nur eben wissen, dass bei Vektoren auch komponentenweise abgeleitet werden kann und dann eben z.B. der Ortsvektor wieder den Geschwindigkeitsvektor gibt usw., analog zu den skalaren Größen der Kinematik. Man nehme eine Kreisbewegung wie unten dargestellt, so dass man sagen kann: Dann ist die Geschwindigkeit die erste Ableitung nach der Zeit: Und die Beschleunigung die zweite: Jetzt muss man nur noch wissen, dass der Betrag eines Vektors anschaulich seiner Länge entspricht. Für rechtwinklig aufeinanderstehende zweidimensionale Vektoren entspricht das dann dem Pythagoras. Die Beschleunigung hat also immer den gleichen (bekannten) Wert. Wenn man will kann man außerdem noch zeigen, dass: So dass die Beschleunigung immer senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht.
as_string	Verfasst am: 12. Jun 2006 20:17    Titel: Hallo! Ich habe versucht, mal eine kleine Zeichnung zu machen. zum Zeitpunkt t hast Du die Geschwindigkeit v und zum Zeitpunkt t' die Geschwindigkeit v'. Die Differenz (bei Vektoren ist das dann immer von der einen Pfeilspitze zur anderen) der beiden Geschwindigkeitsvektoren ist gerade die Beschleunigung in diesem Zeitintervall. Eigentlich müsstest Du jetzt das Zeitintervall unendlich klein werden lassen, damit Du die momentane Beschleunigung raus bekommst und das ist dann schon die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Aber wenn Du noch keine Ableitungen hattest, ist das wahrscheinlich extrem schwer, das jetzt zu verstehen... Ich glaube aber, dass Du Dir das vielleicht trotzdem vorstellen kannst. auf die Art. Zumindest woher die Beschleunigung kommt, obwohl sich der Betrag der Geschwindigkeit (die Länge des Pfeils) gar nicht ändert. Und vielleicht auch, warum die Beschleunigung immer im rechten Winkel auf der Geschwindigkeit steht. Gruß Marco //edit: eigentlich ist der Pfeil nicht a sondern , um genau zu sein.
Ari	Verfasst am: 12. Jun 2006 19:31    Titel: Schade, ich dachte dass man das mit den bekannten Formeln so herleiten kann. Natürlich hatten wir das mit Vektoren noch nicht, aber wenn das einfacher zu verstehen ist, schau ich mir das demnächst mal an (wie die Lagrange-Funktion, aber die zu verstehen ist wohl utopisch ). Zu Vektoren (und den Ableitungen) fehlt mir noch einiges aber probieren schadet nicht. Danke erstmal für die Antwort!
as_string	Verfasst am: 12. Jun 2006 17:38    Titel: Hallo Ari! Nee, die Herleitung klappt so nicht. Der Witz ist ja, dass die Geschwindigkeit sich vom Betrag her gar nicht ändert, sondern die Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Mir fällt im Augenblick keine schöne/einfache Herleitung ein. Ein noch relativ einfache wäre, wenn man einen Vektor x sich überlegt, der die Position auf dem Kreisbogen in Abhängigkeit der Zeit angibt und diesen dann zweimal ableitet, um einmal die Geschwindigkeit und bei der zweiten Ableitung die Beschleunigung bekommt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob Du das mit Vektoren und Ableitungen so schon hattest... Eine saubere und exaktere Herleitung hatten wir bei theoretischer Mechanik mal gemacht. Da betrachtet man die Lagrange-Funktion irgendwie im rotierten Bezugssystem und bekommt so dann sowohl die Zentrifugalkraft als auch die Corioliskraft raus. Aber das ist dann noch komplizierter und hilft auch nicht unbedingt dem Verständnis, finde ich. Ich schau mal, ob mir noch eine einfache Herleitung einfällt... Gruß Marco
Ari	Verfasst am: 12. Jun 2006 17:17    Titel: Zentripetalkraft - Formel herleiten Ich hab vor, mich in nächster Zeit mit Drehbewegung zu beschäftigen, auf folgendes Problem bin ich gestoßen: Die Zentripetalkraft wird mit beschrieben. Ich weiß einfach nicht, wie man darauf kommt. Mir ist klar, dass , heißt, dass ich das t jetzt ersetzen muss. Mein Ansatz: Jetzt versteh ich nicht, warum bei mir das phi noch steht...denn phi ist doch nicht 1 Wär froh, wenn mir jemand sich die Zeit nimmt und mir hilft

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