Gekoppelte Schwingungen (2 Massen, 2 Federn)

Drakonomikon · Anmeldungsdatum: 26.10.2007 Beiträge: 16

Ich habe wie unten abgebildet ein gekoppeltes System.

Und ich suche 2 gekoppelte Differentialgleichungen, nach dem Muster:

Wenn ich die einmal habe dann ist alles weitere kein Problem, nur weiß ich nicht wie ich darauf kommen soll.

EDIT: Außerdem soll ich 2 Funktionen bestimmen, nach dem Muster:

pfnuesel · Anmeldungsdatum: 04.11.2004 Beiträge: 248 Wohnort: Zürich

Hoi

Das Hookesche Gesetz gibt uns die Federkraft. Dank Newton können wir diese gleich

setzen.

Jetzt stellst du die Bewegungsgleichungen für die beiden Kugeln auf und dann hast du deine gekoppelte Differentialgleichung. Die Schwierigkeit dabei ist, dass die Auslenkung der Kugel zur rechten Seite abhängig ist von der Auslenkung der Kugel zur linken Seite.

Drakonomikon · Anmeldungsdatum: 26.10.2007 Beiträge: 16

Okay das ist nicht sonderlich schwer:

So aber die Kugeln sind gekoppelt. Was muss ich tun?

pfnuesel · Anmeldungsdatum: 04.11.2004 Beiträge: 248 Wohnort: Zürich

Für die Kugel links haben wir aber zwei Federn, also sollten auch zwei Federkräfte wirken.

Untersuche ausserdem die beiden Kugeln separat:

Drakonomikon · Anmeldungsdatum: 26.10.2007 Beiträge: 16

Also sowas wie das? Hammer

pfnuesel · Anmeldungsdatum: 04.11.2004 Beiträge: 248 Wohnort: Zürich

Was ist denn

?

Die Auslenkung der Kugel aus der Ruheposition, oder? Die zweite Federkraft ist aber auch noch abhängig von der Auslenkung der zweiten Kugel, das

kann also nicht richtig sein.

Also mit der Federkraft zur linken Seite bin ich einverstanden. Für die Federkraft der rechten Seite ist allerdings eine Differenz, der beiden Auslenkungen gefragt. Versuch dir das anhand der Skizze klar zu machen.

Dann haben wir:

Drakonomikon · Anmeldungsdatum: 26.10.2007 Beiträge: 16

soll die Auslenkung der rechten Masse sein. (Damit es keine Missverständnisse gibt).

Ja dein Vorschlag macht natürlich Sinn.

Es gilt:

Aber wie bringe ich die jetzt in die Form:

pfnuesel · Anmeldungsdatum: 04.11.2004 Beiträge: 248 Wohnort: Zürich

Das Missverständnis ist leider schon passiert:

bezeichnet bei mir die linke Masse!

Überlege dir das am besten so, indem du eine Auslenkung

setzt. Also, wir haben:

Angenommen

: Das heisst die linke Masse befindet sich im Gleichgewicht, unsere Bewegungsgleichung lautet dann:

. Das heisst: Eine Verschiebung der rechten Masse bewirkt eine genau gleich gerichtete Kraft auf die linke Masse. Das macht Sinn, denn die rechte Masse zieht (stösst) die andere Masse mit (weg).

Angenommen

: Also unsere rechte Masse ist im Gleichgewicht. Unsere Bewegungsgleichung lautet jetzt:

. Das ist zwei Mal das Hookesche Gesetz, je einmal von der linken und einmal von der rechten Feder. Macht ebenfalls Sinn.

So kannst du überprüfen, ob deine Bewegungsgleichungen überhaupt sinnvoll sind. Und jetzt überprüfe nochmals die zweite Bewegungsgleichung...

Danach haben wir ein gekoppeltes Differentialgleichungssystem. Wieso möchtest du nur die erste Ableitung drin haben? Da es so allgemein einfach lösbar ist?

Also ich würde in diesem Fall so vorgehen, dass ich eine Koordinatentransformation suchen würde, die unsere Bewegungsgleichungen entkoppelt. Üblicherweise sind das bei solchen Systemen die Normalkoordinaten:

Aber wahrscheinlich gibt es eine allgemeinere Art, solche Systeme zu lösen, da kann ich dir aber leider nicht weiterhelfen.

Die obengenannten Normalkoordinaten führen aber bei diesem Problem zu keiner Vereinfachung. Momentan sehe ich grad nicht, wie man dieses System einfach entkoppelt...

Drakonomikon · Anmeldungsdatum: 26.10.2007 Beiträge: 16

Ja mein Fehler, ich meinte links und habe rechts geschrieben.

Die erste Ableitung wollte ich deshalb so drin haben weil wie es auch so in der Übung gemacht haben (nur dort war schon eine Gleichung in der oben stehenden Form gegeben und es wurde gesagt dass die für irgendein gekoppeltes Massensystem steht.

Der nächste Schritt wäre bei mir das System in Matrixform umzuwandeln und dann zu diagonalisieren.