Mechanische Sinus-Schwingung

Voessli · Anmeldungsdatum: 14.06.2006 Beiträge: 50

Ich frage mich gerade ob es eine mathematische Erklärung dafür gibt, dass mechanische Schwingungen oder Wellen durch eine Sinusfunktion beschrieben werden können.
Im Prinzip steht ja eine konstante Kraft (Gravitation) einer, je nach Höhe, linear zunehmenden/abnehmenden Kraft gegenüber (Schraubfeder). Hinzu kommt die kinetische Energie des Gewichtes.

Wie formuliert man diese Bedingungen mathematisch, sodass daraus eine Sinuskurve hergeleitet wird?

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

Du nimmst das Newtonsche Kraftgesetz, wonach gilt

Außerdem gilt für eine Mechanische Schwingung, dass es stets eine Rückstellkraft gilt, die proportional zum Ort ist:

Durch gleichsetzung, und Umformung (auf die andere Seite bringen), erhält man die homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Durch mehrere Ansätze (der Formale führt über die komplexe e Funktion) findet man, dass die Allgemeine Lösung gegeben ist durch

Hier ist

, C1 und C2 sind freie Konstanten, die einen bestimmten Wert annehmen, wenn man Anfangsbedingungen wie x(0), also eine Startposition und

also eine Startgeschwindigkeit wählt.
Du kannst diese Funktion mal ableiten, und einsetzen und siehst, dass sie diese Forderung erfüllt.
Wenn dir das nicht reicht, kann ich mal versuchen ein Paar Takte zu der eindeutigkeit der Lösung zu verlieren, aber nicht jetz, es ist halb zwei in der Früh^^