Kreisscheiben im Raum

yeti777 · Anmeldungsdatum: 10.11.2004 Beiträge: 160 Wohnort: Schweiz

Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe, die ich schon lange mit mir herumschleppe, aber keine gangbare Lösung dafür finde.

Gegeben:

Gesucht: Minimum der Funktion

unter den Nebenbedingungen

, g1: Kugel 1 (2)

, g2: Ebene 1 (3)

, g3: Kugel 2 (4)

, g4: Ebene 2 (5)

Gleichungen (2) und (3) resp. (4) und (5) definieren Kreisscheiben im

sind die Zentren der Kreisscheiben,

die Radien,

die Normalenvektoren,

Punkte auf den Kreisradien,

die Abstandsfunktion (euklidische Metrik), die es zu minimieren gilt.

Kurz: Es ist der kürzeste Abstand zwischen zwei Kreisen im Raum mit beliebig vorgegebener Orientierung gesucht.

Die Existenz der Lösung ist gesichert: Die Kreise sind Kompakta im

. Das Kreuzprodukt von zwei Kompakta ist wiederum kompakt. Die Abstandsfunktion (1) ist stetig und besitzt daher ein Maximum und ein Minimum (Satz).

Ich habe es mit dem Satz von LAGRANGE probiert. Die Voraussetzungen des Satzes sind erfüllt (überprüft). Als notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung liefert der Satz von LAGRANGE:

Das ergibt 6 skalare Gleichungen. Mit den 4 Nebenbedingungen zusammen ergibt sich ein nichtlineares Gleichungssystem von 10 Gleichungen für die 10 Unbekannten

.

Ich habe schon auf alle Arten versucht, dieses Gleichungssystem zu lösen, mich aber immer "im Gestrüpp" verloren (Ansatz mit Parameterdarstellung brachte auch nichts).

Hat jemand eine Ahnung
a) wie man diesem GLS zu Leibe rücken könnte oder
b) wie man einen vernünftigen Startwert für einen mehrdimensionalen NEWTON bestimmen könnte oder
c) wie man den Abstand nach oben abschätzen könnte, ohne zuviel zu verschenken? Es könnte ja sein, dass dieses Problem unter einer anderen Form in der Physik schon existiert.

Nachsatz: Das ist ein abstrahiertes Problem aus der Ingenieurpraxis. Die Berechnung des Abstandes erfolgt periodisch und muss möglichst schnell erfolgen (effiziente Formel gesucht).

Ich werde dieses Problem auch im Matheboard posten.

Gruss yeti