Teilchen in der Kiste

Thor · Anmeldungsdatum: 14.01.2008 Beiträge: 90

Hi zusammen,

ich habe gerade folgende Aufgabe gerechnet und am Schluss ist mir etwas unklar. Hier erst mal die Aufgabe.

Man hat ein Teilchen in einer würfelförmigen Kiste mit Länge L. Es ist darin frei beweglich eingeschlossen. Nun sollen die Energieeigenwerte und die dazugehörigen Energieeigenfunkion berechnet werden. Die Lösung ist angegeben, Energieeigenwerte

;

, und Energieeigentfunktion

mit

etc.
Der Koordinatenursprung ist in der unteren linken Ecke.
(Anmerkung: mein h ist ein h-quer)

Lösungsansatz ist klar - Seperationsansatz von Orts- und Zeitteil der Wellenfkt und lösen der Eigenwertgleichung.
Beim Lösen der Ortsfkt. muss der Sinus gewählt werden, wegen Laplace und dem Minuszeichen ist sie hilfreich, die Wahrscheinlichkeitsdichte soll bei x=0 und x=L Null sein, somit kein Cosinus.
Dadurch erhält man für den Ortsteil diese Fkt.:

Wegen den Randbedingungen muss für x=L , für y und z gilt gleiches, der Funktionswert Null werden. Also hab ich dies gemacht:

mit

. Das l nicht kleiner 1 ist, ist dann erfüllt und an sich hab ich dann die gleiche Lösung wie in der Vorgabe.

Durch Normierung erhält man noch

Durch die Schrödingergleichung kommt man dann auf:

Meine Lösung ist an sich genau das was angegeben wurde. Das Argument wird nur für x=0 Null, das ist ja ok, sonst ist es ein Vielfaches von Pi.

Nun soll der Druck ausgerechnet werden, den das Teilchen im Grundzustand auf die Wände ausübt.

Ist das Teilchen im Grundzustand, besitzt es die Enerige

Irgendwie ist aber da noch der Wurm drin. Was ist

? Meine Energie ist doch garnicht vom Ort abhängig. grübelnd

Wo ist mein Denkfehler???

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

hilft dir vielleicht diese Umformung:

deine Wellenfunktion ist jetzt aber in der Ortsbasis x(t), wie kommst du auf die Impulsbasis p(t)?

gruß bishop

Thor · Anmeldungsdatum: 14.01.2008 Beiträge: 90

na durch fouriertrafe kann ich in die impulsdarstellung wechseln. entspricht die wellenfunktion in der impulsdarstellung dem klassischen impuls?? na dann muss ich ja nur noch zeitlich ableiten und hab ja schon das ergebnis, ist das richtig??

bishop · Moderator Anmeldungsdatum: 19.07.2004 Beiträge: 1133 Wohnort: Heidelberg

jop ich würde mal sagen^^

schnudl · Moderator Anmeldungsdatum: 15.11.2005 Beiträge: 6979 Wohnort: Wien

Wenn man den Würfel in x-Richtung um dL verlängert, so wird die Volumsarbeit

geleistet, welche nur auf Kosten der "inneren Energie" gehen kann.

Daher würde ich sagen, dass

ist.

Möglicherweise hat @bishop auch irgendwie recht, aber ich denke, dass du mit der ursprünglichen Überlegung nicht so falsch lagst.