Teilch. auf Zylinderoberflä. unter Einfluss ei. Zentralkraft

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

Hi!

Ich habe ein Teilchen (der Masse m) was sich unter dem Einfluss einer Zentralkraft

, wobei k = const., auf der Oberfläche eines (unendlich langen) Zylinders mit Radius R (ich denke mal der wird konstant sein), bewegt. Die Symmetrieachse geht durch das Kraftzentrum.

a) Nun soll ich die Lagrangefkt. und anschließend die Hamiltonfkt aufstellen:

Angenommen ich nehme die z-Achse als Symmetrieachse und das Kraftzentrum befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems.

Die Kraft die auf das Teilchen wirkt ist nur abhängig vom Abstand r zum Kraftzentrum.

Dann kann ich für die generalisierten Koordinaten einfach

und z nehmen. Da diese Koordinaten ja die Aufenthaltsorte des Teilchens beschreiben können.

Die Transformationsformeln sind einfach:

Somit ergibt sich für die kinetische Energie:

die potentielle Energie ist:

Somit ist meine Lagrange-Gl.:

Vereinfacht also dann:

Die Hamiltongleichung ergibt sich dann zu:

Die generalisierten Impulse wurden mit

bestimmt.
Dabei ist

eine Erhaltungsgröße (Drehimpulserhaltung).

b) Dann sollen die Bewegungsgleichungen bestimmt werden: Das geht meiner Meinung mit:

und

c) Unter welchen Umständen treten geschlossene Bahnkurven auf?

Da weiß ich leider nicht mehr so weiter. Ich würde behaupten, dass eine Kraft tangential zur Zylinderoberfläche und senkrecht zu R wirken muss, aber nicht in z-Richtung?

Was für ne Kraft kann das sein?

Danke schonmal

LG
Matze

Zeno-2 · Anmeldungsdatum: 20.12.2007 Beiträge: 3

Zwischenfrage:
Sollte der Potentialterm nicht sowas wie

sein? ?

Ist bei mir schon eine Weile her.... Schläfer

physiker08 · Anmeldungsdatum: 08.06.2008 Beiträge: 83

Hi!

Ich habe mir die potentielle Energie im Gravitationsfeld vorgestellt. Ich habe mir das Problem scheinbar zu bildlich vorgestellt. Ich habe seine Symmetrieachse einfach auf die z-Achse gesetzt und dann einfach gedacht: Ohh!! Das ist ja z-Richtung also ohne nachzudenken die Gravitation ins Spiel gebracht LOL Hammer

Aber wo du es so ansprichst, denke ich, dass der Zylinder ja theoretisch beliebig gedreht werden kann, also seine Symmetrieachse nicht unbedingt die z-Achse sein muss. Die Gravitation mit reinzubringen wäre dann zu kompliziert.

Ausserdem habe ich die Definition der Zentralkraft nicht berücksichtigt, die ja besagt das nur eine Kraft wirkt die Radial zum Kraftzentrum wirkt.

Und daher denke ich das man das Gravitationspotenzial ausser acht lassen kann.

Dann ist die potentielle Energie also nur vom Abstand zum Ursprung definiert. Also über den Faktor

.

Aber dann darf ich die potentielle Energie ja eigentlich nicht mehr über

bestimmen, denke ich. Dann muss ich ein elektrisches Potential finden, aber wie macht man das??

LG

Matze grübelnd