Loch in der Erde

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Jeder kennt die Aufgabe:
Man bohrt ein Loch komplett durch die Erde (oder eine andere näherungsweise kugelförmige Masse) und lässt einen Stein im Gravitationspotential schwingen. Da dieses Szenario mir nicht ausreichend kompliziert ist nehmen wir nun an, der Stein würde weit über das Innere der Erde Hinaus schwingen dann ist mit Newton:
außerhalb Loch: d²x/dt²=-G*M/x²
im Loch: d²x/dt²=-G*p*(4/3)*Pi*x
(M: Masse der Erde, G: Gravitationskonstante, x: Auslenkung vom Erdmittelpunkt, p: Dichte der Erde [zur Vereinfachung als homogen angenommen])
Ist es möglich aus den beiden stetig ineinanderübergehenden Kräftefunktionen die Schwingung zu bestimmen?[/url]

dermarkus · Administrator Anmeldungsdatum: 12.01.2006 Beiträge: 14788

Ich würde vorschlagen, die Lösung dieser Aufgabe in zwei Teile zu zerlegen: Einmal den senkrechten Wurf außerhalb der Erde (je nach Wunsch entweder einfach als Parabel-Näherung oder unter Berücksichtigung des 1/r - Potentials), und einmal die Schwingung innerhalb der Erde.

Zusammensetzen kannst du diese beiden Bewegungsteile entsprechend mit den Randbedingungen an der Übergangsstellen zwischen den beiden Potentialfunktionen, da muss an der Erdoberfläche also einfach die Geschwindigkeit sowohl zum senkrechten Wurf außen als auch zu der Schwingungsfunktion innen passen.

Chillosaurus · Anmeldungsdatum: 07.08.2010 Beiträge: 2440

Mit der Parabelnäherung und den Anfangswerten vo, rE und der Substitution: w=(4/3*G*p*Pi)^0.5 komme ich dann auf:
xaußen=voT-0.5gT²+rE
xinnen=rE*cos( wT)+(vo-g)sin(wT)
und die Schwingungsdauer zusammengesetzt aus der Schwingungsdauer innen und der Fallzeit:
t=2Pi/w+2*(2vo/g)^0.5

vielen Dank. Das scheint mir logisch so.