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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
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 planck1858 Verfasst am: 28. Feb 2011 19:28 Titel: Parallelogramm |
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Hi,
habe hier folgende Aufgabe, bei der ich mir nicht ganz sicher bin, ob diese so richtig gerechnet ist.
Aufgabe
Prüfe, ob ABCD ein Parallelogramm ist, d. h. ob
beziehungsweise
gilt.
a)
A(-5|-2)
B(1|-4)
C(2|-1)
D(-4|1)
Rechnung
 \\ -4-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ -2 \end{pmatrix})
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\ 2 \end{pmatrix})
Das bedeutet, dass es sich um ein Parallelogramm handelt. Ist das so korrekt? Aber wie kann man das noch besser begründen?
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Die Naturwissenschaft braucht der Mensch zum Erkennen, den Glauben zum Handeln. (Max Planck)
"I had a slogan. The vacum is empty. It weighs nothing because there's nothing there. (Richard Feynman) |
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eva1
Anmeldungsdatum: 06.10.2010
Beiträge: 532
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| eva1 Verfasst am: 28. Feb 2011 19:36 Titel: Re: Parallelogramm |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: |
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So wie du gerechnet hast, handelt es sich nicht um ein Parallelogramm! Beachte: Spitz-Fuß |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 28. Feb 2011 19:42 Titel: |
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Ich habe gerade mal die Koordinaten in ein Koordinatensystem eingetragen.
Anstatt eines Parallelogramms entsteht da eher ein Rechteck!
Aber wie kann ich das jetzt mit der Vektorrechnung begründen?
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 28. Feb 2011 20:31 Titel: Re: Parallelogramm |
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| eva1 hat Folgendes geschrieben: | [...]
So wie du gerechnet hast, handelt es sich nicht um ein Parallelogramm! Beachte: Spitz-Fuß |
Widerspruch: beide Ergebnisse sind linear abhängig und haben den gleichen Betrag. Das reicht im lR2. Es gibt im Parallelogramm keine Richtung.
@Planck
Skalarprodukt. |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
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| planck1858 Verfasst am: 28. Feb 2011 20:38 Titel: |
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@Chilosaurus,
könntest du mir dies anhand meines oben genannten Beispiels erklären?
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 28. Feb 2011 20:45 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | @Chilosaurus,
könntest du mir dies anhand meines oben genannten Beispiels erklären? |
Wie ist denn die Definition des Skalarproduktes und wie lässt es sich im lR^3 bestimmen?
Welchen Winkel schließen die Seiten eines Rechteckes ein? |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 28. Feb 2011 20:54 Titel: |
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In einem Rechteck hat man ja immer rechte Winkel.
Das mit dem Skalarprodukt habe ich auch in der Schule noch nicht so richtig verstanden, könntest du mir das mal versuchen zu erklären, vielleicht verstehe ich es ja dann besser!
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 28. Feb 2011 21:10 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | In einem Rechteck hat man ja immer rechte Winkel.
Das mit dem Skalarprodukt habe ich auch in der Schule noch nicht so richtig verstanden, könntest du mir das mal versuchen zu erklären, vielleicht verstehe ich es ja dann besser! |
Ein Vektorraum hat neben "+","-", *a (a(-lR)), eine Produkt und eine Norm. Die Norm ordnet jedem Element eine Zahl aus lR zu. Dabei ist die Norm in unserem Fall die Wurzel aus dem Produkt eines Elementes des Vektorraumes mit sich selber.
Im euklidischen Raum stellt die Norm die Länge eines Vektors dar. Sie ist an Hand eines Skalarproduktes definiert:
llvll²=<v,v>, dabei ist, wie man sich mit Pythagoras leicht klarmachen kann das Skalarprodukt:
<v,w>= .
Somit ist <v,w>=<w,v> klar und <v,(w+v)>=<v,w>+llvll durch nachrechnen einsichtig.
Man sieht leicht: l<v,w>l²(</=)llvll*llwll
Wenn man sich die Winkelfunktionen genau vor Augen führt, so stellt man fest, dass sich das Skalarprodukt auch auf andere Weise ausdrücken lässt:
<v,w>=llvll*llwll*sin(A), wobei A der Winkel zwischen den Vektoren v,w ist.
Wie groß ist <v,w>, wenn v zu w orthogonal ist? |
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planck1858
Anmeldungsdatum: 06.09.2008
Beiträge: 4542
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| planck1858 Verfasst am: 28. Feb 2011 21:14 Titel: |
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Ok, hört sich ganz gut an! Werde jetzt auch nochmal in einer meiner Mathebücher nachschauen, wie es dort beschrieben wird!
Also können wir schonmal festhalten, dass wegen des Vektorprodukts es sich hier sehrwohl um ein Parallelogramm handelt.
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 28. Feb 2011 21:23 Titel: |
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| planck1858 hat Folgendes geschrieben: | | [...] Also können wir schonmal festhalten, dass wegen des Vektorprodukts es sich hier sehrwohl um ein Parallelogramm handelt. |
Das Vektorprodukt alleine reicht nur, wenn du es für alle Seiten anwendest.
v x w = 0 gilt für alle parallelen Vektoren v,w unabhängig ihrer Länge.
So wie du es gemacht hast ist es besser. mit v=w oder v=-w für 2 Seiten hast du ein Parallelogramm.
Was du vom Skalarprodukt brauchst sind tatsächlich nur die beiden Definitionen (der Faulheit halber im lR^2):
1. 
2. <v,w>²=<v,v><w,w> (sin(A))²
In einem Rechteck beträgt der Winkel A 90°, wenn v und w zwei nicht parallele Seiten sind.
Was muss sich also für das Skalarprodukt (gemäß der 1. Vorschrift berechnet) ergeben, weil 1. und 2. äquivalent sind?
vllt. kennst du aus der Schule die Schreibweise v.w oder  anstatt <v,w> |
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Packo
Gast
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| Packo Verfasst am: 01. März 2011 10:26 Titel: |
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Planck,
du brauchst für diese Aufgabe kein Skalarprodukt!
Definition eines Parallelogramms:
AB muss parallel DC sein
und
BC muss parallel AD sein
Dein Vektor DC ist falsch. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 01. März 2011 10:40 Titel: |
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| Packo hat Folgendes geschrieben: | Planck,
du brauchst für diese Aufgabe kein Skalarprodukt![...] |
Das ist korrekt. Es ist aber eine einfache Möglichkeit um zu prüfen, ob es sich bei einem Parallelogramm um ein Rechteck handelt. |
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PhyMaLehrer
Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 1085
Wohnort: Leipzig
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| PhyMaLehrer Verfasst am: 01. März 2011 11:58 Titel: |
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Es ist schon richtig, daß die Vektoren, so wie sie hier berechnet sind, entgegengesetzten Richtungssinn haben. Da es aber, wie weiter oben schon festgestellt wurde, im Parallelogramm keine Richtung gibt, reicht es, festzustellen, ob sich der eine Vektor als Vielfaches des anderen darstellen läßt. Und wenn ich den einen Vektor mit -1 multipliziere, erhalte ich den anderen... |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 01. März 2011 12:09 Titel: |
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| PhyMaLehrer hat Folgendes geschrieben: | | [...], reicht es, festzustellen, ob sich der eine Vektor als Vielfaches des anderen darstellen läßt. [...] |
Nein, die Länge der Vektoren muss auch identisch sein, da man sonst nicht darauf schließen kann, dass die beiden anderen Seiten ebenfalls parallel sind. Es kommt also nur +1 oder -1 als multiplikativer Faktor in Frage.
(oder man muss auch die Seitenteile ausrechnen) |
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PhyMaLehrer
Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 1085
Wohnort: Leipzig
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| PhyMaLehrer Verfasst am: 01. März 2011 13:38 Titel: |
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| Zitat: | | Nein, die Länge der Vektoren muss auch identisch sein |
Das stimmt natürlich. Ich war davon ausgegangen, daß man weiter oben schon sehen konnte, daß die beiden Vektoren denselben Betrag haben. |
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