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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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 Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 09:38 Titel: Lorentzkraft - Elektron im homogenen Magnetfeld |
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Hallo zusammen,
bei folgender Aufgabe habe ich Probleme... :
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4006 mal |
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 09:39 Titel: |
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also folgendes habe ich zum Aufgabenteil a) schon selber machen
können :
Gegeben ist ja :
und
Gesucht ist :
 \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix})
Somit folgt :
da  folgt :
so und dann folgt doch :
so und weiter weiss ich nun nicht mehr...kann mir jemand von euch
da vielleicht weiter helfen...?  
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Sori
Anmeldungsdatum: 08.05.2011
Beiträge: 3
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| Sori Verfasst am: 09. Mai 2011 10:56 Titel: |
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Steht noch Genaueres zu der Aufgabe? Zu welchem Themenschwerpunkt gehört sie?
Geht es um Elektronen, die sich in homogenen Magnetfeldern innerhalb eines Fadenstrahlrohrs bewegen?
Wenn ja, dann wirkt die Lorentzkraft wie die Zentripetalkraft auf die Elektronen.
Fz=FL
<=> mv = qrB
<=> r = (mv)/(qB)
Die Ablenkung kann man anhand des Vorzeichens der Ladung bestimmen...
q = (mv)/(rB)
HTH
Sori
EDIT:
Ich kenne mich mit Vektorschreibweise hinsichtlich Physik nicht so hervorragend aus, 
ich sollte vlt aber dennoch erwähnen, dass:
(m(v^2))/e((vektor v) x ( vektor B)) gilt.
(x entspricht hier dem Zeichen für Kreuzprodukt)
Die Zentripetalkraft lässt sich zudem so beschreiben:
vektorFz = -m*(Winkelgeschwindigkeit^2)*(vektor r)
Demnach könnte gelten:
(m(v^2))/e((vektor v) x ( vektor B)) = vektor r
Überall wo nicht Vektor steht, würd ich jetzt die Länge berechnen.. :o
Bei Bedarf könnt' ich das nochmal mit dem Formeleditor eintippen. 
EDITEDIT:
Jaja... ich sehe es grad, im Prinzip das gleiche geschrieben Wieso rechnest du das denn nicht einfach mit den Werten aus? =)
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 09. Mai 2011 11:17 Titel: |
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| Ricky hat Folgendes geschrieben: |
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Du hast hier ein Gleichungssystem, was du lösen musst.
1) Die erste Gleichtung ist entkoppelt und kann unabhängig von anderen integriert werden. Durch zweimaliges integrieren, erhälst du x(t).
2) Fasse konstanten zusammen  , damit hast du für 2. und 3. Gleichung
Leite erste Gleichung nach der Zeit ab und setze anschließend zweite Gleichung in die abgeleitete erste Gleichung ein. Damit erhälst du eine DGL, die du lösen kannst, um y(t) zu gewinnen.
3) Setze nun aus 2) gewonnene y(t) in die 3. Gleichung ein und löse diese, um z(t) zu gewinnen.
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 11:34 Titel: |
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Ok. Also wenn ich die erste Gleichung für x dann zweimal integriere,
bekomme ich doch für x einfach :
=C \cdot x + C)
oder...?
Und dann leite ich die zweite gleichung für  nach
der Zeit ab. Das wäre doch dann :
und umgestellt wäre das dann :
und nun muss ich das in die zweite gleichung einsetzten...
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 09. Mai 2011 12:06 Titel: |
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| Ricky hat Folgendes geschrieben: | Ok. Also wenn ich die erste Gleichung für x dann zweimal integriere,
bekomme ich doch für x einfach :
oder...?
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Du darfst nicht ein C für zwei verscheidene konstanten verwenden. Außerdem, was soll hier F(x) heißen?
=0)
=0)
integriert ergibt:
=C_1)
Setze t=0, dann
=C_1=:v_0)
Also
=v_0)
Nun nochmal integriert:
=v_0t+C_2)
setze wieder t=0 ein:
=C_2=:x_0)
damit hat man endergebnis für x(t) Koordinate.
=v_0t+x_0)
| Ricky hat Folgendes geschrieben: | Und dann leite ich die zweite gleichung für nach
der Zeit ab. Das wäre doch dann :
und umgestellt wäre das dann :
und nun muss ich das in die zweite gleichung einsetzten... |
 = \frac{B_x e}{m} \dot z(t))
Leite BEIDE Seiten nach t ab:
 = \frac{B_x e}{m}\ddot z(t))
wir haben aber noch diese Gleichung übrig:
 = -\frac{B_x e}{m} \dot y(t))
Wir setzen sie in die obige Gleichung ein und erhalten:
 = -\frac{B_x^2 e^2}{m^2} \dot y(t))
Setze noch =\dot y(t)) dann hast du
 = -\frac{B_x^2 e^2}{m^2} s(t))
Diese Art von Gleichungen muss du noch aus der Schule kennen.
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 12:22 Titel: |
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Ok, bis hierher habe ich es verstanden.
Vielen Dank! Aber ich weiss nicht, wie ich
nun weiter rechnen muss, um y und z
zu erhalten...
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 17:36 Titel: |
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hallo...
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 18:04 Titel: |
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ich weiss wirklich nicht, wie ich weiter vorgehen muss...
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 09. Mai 2011 18:13 Titel: |
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Du hast eine relativ einfache Differentialgleichung zu lösen, die du mit Sicherheit schon kennst.
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 18:44 Titel: |
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Ja, das weiss ich. Das Problem ist nur, dass ich wirklich nicht weiter
weiss und total aufm schlauch stehe...
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 20:13 Titel: |
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muss man die gleichung vielleicht mit seperation der variablen lösen...
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 09. Mai 2011 20:16 Titel: |
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Würde die eher einen Exponentialansatz raten, oder einfach nochmal hinsehen und die Lösung erraten.
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 09. Mai 2011 21:44 Titel: |
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Ist die Lösung wirklich so offensichtlich...
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 09. Mai 2011 22:27 Titel: |
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Ja, das ist meist die erste Differentialgleichung, die man z.B. in der Schule im Physik-Unterricht löst.
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 10. Mai 2011 11:17 Titel: |
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muss ich in die Gleichung jetzt für ) ) einsetzen....?
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 10. Mai 2011 14:27 Titel: |
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| Ricky hat Folgendes geschrieben: | | muss ich in die Gleichung jetzt für einsetzen....? |
Das macht sowie physikalisch als auch mathematisch so wenig Sinn, dass ich glaube, dass du ratest, ohne überhaupt drüber nachzudenken.
Ich poste dir trotzdem eine Lösung.
Man muss folgendes Gleichungssystem lösen:
 = \frac{eB_z}{m} \dot z(t))
 =- \frac{eB_z}{m} \dot y(t))
Hier kann man sich zwei Sachen überlegen:
1) Fasse alle Konstanten zusammen, damit sie nicht verwirren und nicht zu weiteren Fehlerquellen werden.
2) Diese Gleichungen haben kein y(t) und auch kein z(t) Term. Man kann essich einfacher machen gleich mit Geschwindigkeiten Rechnen:
=\dot y(t))
=\dot z(t))
dementsprechend auch
=\ddot y(t))
=\ddot z(t))
Setzen man das ganze nun ein, dann erhält man:
 = \omega v_z(t))
 =- \omega v_y(t))
Das muss man nun lösen.
Die einfachste Methode ist eliminieren von Variablen, wie man es bei gewöhnlichen Gleichungssystemen macht.
Löse erste Gleichung nach )
 = \dot v_y(t)/\omega)
und setze in die zweite Gleichung ein
/\omega=-\omega v_y(t))
umgeformt
+\omega^2 v_y(t)=0)
Man sucht also eine Funktion die, zwei man abgeleitet, sich selbst wiedergibt. Solche Funktionen sind Sinus und Cosinus. Merk dir das.
 = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))
jetzt muss man noch) bestimmen.
Aus
kann man bestimmen, wenn man ) ausrechnet.
 = \dot v_y(t)/\omega = \frac 1\omega \frac {d}{dt}(A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t))= A \cos(\omega t) - B \sin(\omega t))
Somit haben wir komplette Lösung für die Geschwindigkeiten:
 = A \cos(\omega t) - B \sin(\omega t))
es bleibt die Konstanten A und B zu bestimmen. Dafür setzen wir t=0
 = B)
 = A )
somit
 = v_{0, z} \sin(\omega t) + v_{0,y} \cos(\omega t))
 = v_{0, z} \cos(\omega t) - v_{0,y} \sin(\omega t))
Durch integrieren bestimmen wir nun y(t) und z(t)
 =- \frac{v_{0, z}}{\omega} \cos(\omega t) + \frac{v_{0,y}}{\omega} \sin(\omega t)+C_3)
 = \frac{v_{0, z}}{\omega} \sin(\omega t) + \frac{v_{0,y} }{\omega}\cos(\omega t)+C_4)
Es bleibt die Kosntanten C3 und C4 zu eliminieren, indem wir, wie immer t=0 einsetzen.
 =- \frac{v_{0, z}}{\omega} + C_3)
 = \frac{v_{0,y} }{\omega}+C_4)
und damit
Erinnern wir uns nochmal an die x(t) Lösung
 = v_{0,x}t+x_0)
dann folgt das Endergebnis
 =- \frac{v_{0, z}}{\omega} (\cos(\omega t)+1) + \frac{v_{0,y}}{\omega} \sin(\omega t)+y_0)
 = \frac{v_{0, z}}{\omega} \sin(\omega t) + \frac{v_{0,y} }{\omega}(\cos(\omega t)-1)+z_0)
Prüf jeden Schritt nach, ob ich mich nicht irgendwo vertippt habe. Die Bedeutung der Lösung kann du sehen, wenn du Teil b) deiner Ausgabe machst.
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Ricky
Anmeldungsdatum: 16.01.2009
Beiträge: 1000
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| Ricky Verfasst am: 10. Mai 2011 20:04 Titel: |
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vielen lieben Dank zunächst.  
Aber eines verstehe ich nicht. Wieso hast du geschrieben :
müsste es nicht heissen :
 = \frac{eB_x}{m} \dot z(t))
 =- \frac{eB_x}{m} \dot y(t))
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 10. Mai 2011 20:43 Titel: |
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Ja, das sollte mit x sein.
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