Drehimpulserhaltung

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Hallo, ich wollte gerne wissen, ob jemand mir erklären könnte, wie ich die Rotationsinvarianz der Lagrangefkt. bis auf Terme

zeigen kann, unter der Transformation:

, wobei

beliebig zeitlich konstant.

Muss ich hier die Tansformationsformel in eine Taylorreihe bis zur 2. Ordnung entwickeln?

Vielen Dank voraus.

Grüße, axiom_03

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Welche Transformationsformel? Normalerweise macht man sowas mit Noether-Theorem bzw. Invarianzbedingung.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Transformation in die Langrangfunktion einsetzten und die Lagrangefunktion dann als Taylor-Reihe bis zur gewünschten Ordnung entwickeln.

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Die Lagrangefkt. lautet doch L = T - V, nur wie soll ich denn da die Transformation einsetzen, das ergibt doch kein Sinn.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Um die Invarianz unter Rotation zeigen zu können, musst du schon eine spezifische Lagrangefunktion ansetzen. Irgendeine beliebige Lagrangefunktion reicht da nicht.

Nimm z.B. die für ein freies Teilchen in drei Dimensionen oder die für das Keplerproblem in drei Dimensionen.

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Und wie könnte die Funktion nach deiner Meinung beispielsweise aussehen?

Zu der Aufgabenstellung sei noch vermerkt, dass es hierbei um die Bewegung eines Massenpunktes m im Zentralpotential V(r) geht.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Meinst du dann so für die Lagrangefkt.:

Falls es richtig sein sollte, was ist dann mit V(r), wie kann man das dann anders schreiben, so dass man die Trafo in die Lagrangefkt. einsetzen könnte?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Mit

wäre ich eher einverstanden.

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Ok dann Trafo in Lagrange eingesetzt, ergibt:

Ich finde , dass das ziemlich kompliziert sein wird, um das in eine Taylorreihe 2. Ordnung zu entwickeln!
Oder gibt es da einen alternativen Vorgang?

axiom_03 · Anmeldungsdatum: 12.07.2010 Beiträge: 93

Am geschicktesten wäre wohl hier, wenn man die Ableitungen mit der Indexvariante durchführt, um sich die ganze Rechnerei zu ersparen. Nur leider bin selber noch nicht so fit, bei Indexdarstellungen von Vektoren bei Differentiation, vor allem da ist ja auch noch ein Kreuxprodukt enthalten.

Hätte vielleicht jemand eine Idee, wie man das geschickter mit Indices durchführen könnte?

gast1512 · Gast

Ich wollte die Aufgabe mal lösen, falls jemand das hier googlen sollte (wie ich selbst)

Du nutzt hier die Invarianzbedingung aus dem Noether-Theorem. Dazu leitest du deine Gleichung nach epsilon ab und wertest aus an der Stelle epsilon=null und siehst, dass das ganze null ergibt, da das erste Skalarprodukt verschwindet und bei dem zweiten Klammerterm steht null*(...).