Linienintegrale lösen ohne Potential bzw. Parametrisierung?

FirstBorg · Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 49

Hi
Wie löst man ein Linienintegral über einen beliebigen Weg wenn man keine Parametrisierung und auch kein Potential hat (bzw. es keins gibt)? Kann man das überhaupt lösen?

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Wenn es kei n Potential gibt, ist der Wert i.A. vom Weg abhängig.
Du brauchst auf jeden Fall eine Parametrisierung, um es zu lösen, es sei denn man kann es Geschickt umformen, z.B. über einen Integralsatz.
i.A. braucht man aber eine Parametriesierung, was willst du denn Integrieren ?

FirstBorg · Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 49

Nee, in der Aufgabe kann man ein Vektorfeld als Nabla * Phi schreiben, daher is es kein Problem...

Wollte nur aus neugier wissen, ob das immernoch geht, wenn man das Vektorfeld nicht mehr so schreiben kann, man aber auch keine vorgegebene Parametrisierung hat.

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Naja, du brauchst nur irgendeine Parametrisiserung, die muß nict vorgegeben sein. Die Kurve, entlang der du integrieren willst, muß allerdings schon festgelegt sein, du kannst dir dann eine Parametriesierung dieser Kurve überlegen, der Wert des Integrals hängt davon nicht ab.
z.BWenn der Weg auf der xy Ebene entlang eines Halbkreise auf der Oberen Halbeebene von (-1,0) zu (1,0) auszurechnen ist könntest du die Parametrisierung

benutzen, t läuft dann von

bis

.
Du kannst aber auch

benutzen, t läuft hierbei von -1 bis 1.

FirstBorg · Anmeldungsdatum: 15.06.2004 Beiträge: 49

Das heisst, man kann das Linienintegral nicht ermitteln, wenn man es nicht in die Nabla Form umschreiben kann, und man über einen beliebigen Weg integriert?

sax · Anmeldungsdatum: 10.05.2005 Beiträge: 377 Wohnort: Magdeburg

Ähm, da habe ich mich wohl etwas mißverständlich ausgedrückt.

Mann kann auch Linienintegrale lösen, wenn man das Vektorfeld nicht als Gradient eines Potenzials darstellen kann(nabla Schreibweise), dann hängt der Wert des Integrals aber vom Weg ab. Wenn du einen Weg vorgegeben hast, ist es egal wie du diesen Parametrisierst. Die beiden Beispiele sind zwei unterschiedliche Parametrisierungen eines Halbkreises, sie beschreiben beide den selben Weg.
Wenn du hingegen das Integral in "die Nabla Form" umschreiben kannst kannst du über einen beliebigen Weg integrieren, das Ergebnis hängt nur von Start- und Endpunkt ab.