Hohlzylinder rollt Ebene hinab

physikus5 · Gast

Meine Frage:
Hi, ich habe folgende Aufgabe und möchte gern wissen ob ich das so rechnen kann:

In einem Experiment rollen zylinderförmige Getränkedosen mit dem Radius R und der Masse
m eine schiefe Ebene (Neigungswinkel alpha gegenüber der Horizontalen) herunter, ohne zu
rutschen. (Gehen Sie näherungsweise davon aus, dass die gesamte Masse der leeren Dose im
Mantel des Zylinders lokalisiert ist! Vernachlässigen Sie Deckel und Boden der Dose!) Die
Länge der Rollstrecke sei s.

Geben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeit an, wenn
a) die Dose leer ist!
b)die Dose mit Wasser vollständig gefüllt ist! (Zwischen Wasser und Dose soll keine
Reibung auftreten, das Wasser rotiert also nicht mit.)
c) das Wasser in der Dose gefroren ist und ohne Schlupf mitrotiert! (Eis und Dose
seien also fest verbunden und rotieren zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Win-
kelgeschwindigkeit.)

Meine Ideen:
a) Meine Rechnung:

E pot= E rot + E kin

mit

<-- Steinerscher Satz beim Hohlzylinder, weil die Drehachse ja am äußeren Rand des Zylinders ist.
Nachdem ich die Winkelgeschwindigkeit durch v/r ersetzt habe, hat sich vieles gut rausgekürzt und ich komme zuder Gleichung:

und somit

b) genau das Gleiche, wobei man mit einer anderen Masse rechnet, was aber im Endeffekt egal ist, weil es ja masseunabhängig ist
c) analog, nur mir anderem Trägheitsmoment und daher:

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Also ich bin der Meinung dass man hier den Satz von Steiner nicht anwenden muss. Der Zylinder rotiert doch um seine Symmetrieachse, deswegen ist dieser Schritt überflüssig.

physikus5 · Gast

Aber die Drehachse geht ja nicht durch den Schwerpunkt sondern verläuft mit der Außenhaut des Zylinders, deswegen glaube ich dass man Steiner doch anwenden muss. Mir ging es auch eher darum ob das Prinzip so richtig ist Augenzwinkern

Am Schluss sollen wir noch eine Aussage darüber machen welche Version denn am schnellsten unten wäre und warum. Das wäre ja in diesem Fall die Eisdose, und die andern beiden wären etwas langsamer und gleich schnell. Das liegt ja dann nur an dem Trägheitsmoment, dass für einen Vollzylinder kleiner ist

Niels90 · Anmeldungsdatum: 02.07.2011 Beiträge: 280

Nein der dreht sich nicht um die Außenhaut. Dann würde doch immer die gleiche Stelle auf der Ebene aufliegen. Das Prinzip ist soweit richtig und die Antwort mit dem Eis müsste auch stimmen.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

man KANN den Satz von steiner verwenden, muss man aber nicht. Wenn man es tut, dann nutzt man aus, dass der Auflagepunkt immer der Momentanpol ist.

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519

Die Rotation findet um eine Achse durch den Auflagepunkt statt, also entfällt da der Anteil der translatorischen kinetischen Energie.
Nur wenn man die Rotation um den Mittelpunkt betrachtet, kommt noch die translatorische Schwerpunktsgeschwindigkeit dazu.
Also wenn Steiner, dann keine Translationsenergie.

Bei der wassergefüllten Dose muss man tatsächlich einen translatorischen Anteil mitbetrachten, deshalb kürzt sich hier auch nicht die Masse raus (im rotatorischen Energieanteil ist nur die Dosenmasse, bei Ekin_translatorisch und Epot aber Dosenmasse+Wassermasse)!

Man braucht also für die b) die Wassermasse und für die c) auch, weil das Eis einen Vollzylinder bildet (und der Dosenhohlzylinder bleibt).
Oder anders gesagt: Betrachtet man bei der c) einen rotierenden Vollzylinder, so ist dieser nicht homogen (außer die Dose hat exakt die Dichte von Eis).

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3320

fuss · Anmeldungsdatum: 25.05.2010 Beiträge: 519