Impulserhaltung und Raketengleichung

Geist0815 · Anmeldungsdatum: 26.09.2011 Beiträge: 10

Hallo.

Es geht um die Herleitung der Raketengleichung in diesem Script http://www-mechanik.uni-duisburg.de/downloads/D-Lehre/D-TMIIIKecskemethy/SkriptumTechnischeMechanik3.pdf (Seite 33, Gleichung 3.5 ).

Warum genau wird der Term dm*dv vernachlässigt? Die angegebene Begründung ist für mich nicht ganz schlüssig.
Ist es nur weil er der Term klein wird? Oder ist der Grund eher, dass man die DGL dann nicht so locker lösen kann?

Ich habe mir mehrere Herleitungen angeschaut und bei praktisch allen wird darauf gar nicht eingegangen.
Zum Beispiel: http://people.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scriptenm/raketengleichung.htm

Ich würde im Schwerpunktsystem diese Gleichung aufstellen:

va dm = (m-dm)dv

und nicht va dm = m dv

wobei va die Austrittsgeschwindigkeit der Gase und m die Gesamtmasse der Rakete ist.

Wo liegt der Fehler?

Gruß

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21601

Bei einer derartigen Herleitung werden Terme zweiter Ordnung immer weggelassen, d.h. nur lineare Terme (in den Differentialen d.) betrachtet. Die Begründung ist tatsächlich, dass der Term "klein ist". Das sieht man ein, wenn man zuletzt dividiert. Bsp.:

Dividieren durch dx liefert

und das wiederum ergäbe beim Auflösen

Natürlich kann man nicht integrieren, ohne den zweiten Term rechts zu Null zu setzen; aber das darf man auch tun, da im Grenzfall dx gegen Null und dy gegen Null (also endliche Steigung) der rechte Term sicher verschwindet, während die anderen Terme einen endlichen Beitrag liefern

Geist0815 · Anmeldungsdatum: 26.09.2011 Beiträge: 10

Danke schon mal.

Könntest du mir noch bitte mathematisch zeigen, dass der Term im limes auch wirklich verschwindet?

Ich sehe die Begründung "der Term wird klein" immer mit Vorsicht. Je nach Anwendung kann er doch auch eine Relevanz bekommen...

DrStupid · Anmeldungsdatum: 07.10.2009 Beiträge: 5744

VeryApe · Anmeldungsdatum: 10.02.2008 Beiträge: 3323

das kannsd du doch viel einfacher begreifen in dem du allgemein von einem endlichen Abschnitt auf der x Achse ausgehst.

Und du teilst diesen Abschnitt in n Teile und sagst

daher ist auch x=n*dx

wenn du jetzt in sehr viele Teile unterteilst dann ist n sehr hoch und klarerweise dx sehr klein also gegen null.

Es gilt aber egal wieviel Teile du nimmst immer die obige Beziehung.

wenn du jetzt aber dx² über n summierst, was du ja bei der Integrations machen müsstest.

dann erhälst du klarerweise.

dx²*n=x*dx.... etwas endliches mal etwas unendlich kleines. ist noch immer unendlich klein.

während dx*n=x endlich wird.

Dein dx wäre in dem Fall dt und dm und dv hängen von dt mit einem endlichen Steigungsfaktor ab

dv=kv*dt
dm=km*dt

dv*dm=kv*km*dt²*n=kv*km*t*dt ....dreimal endlich mal unendlich klein ist noch immer unendlich klein.

Es ist immer dasselbe Spiel.
Bei der Aufsummierung wird immer nur ein dx endlich, egal was der auf der x Achse aufgetragen wird, Zeit, Weg, Kuchen, Eier.