Differentialgleichung mx'' = - beta x'

skylein · Gast

Meine Frage:
Hi

Habe in der Übung die Aufgabe gestellt bekommen aus folgender Dgl
die sog. "Gleichgewichtsgeschwindigkeit" zu bestimmen.

Situation:
An Board der ISS wirft ein Astronaut dem anderen einen Apfel an den Kopf.

mx''= -(beta)*x' -> mv' = -(beta)*v

beta = 2* 10^-5
v0 = 1,5 m/s
m = 0,5kg

Könnte mir vlt. jemand einen Tipp geben, was mit dieser Geschwindigkeit gemeint ist?
Vielen Dank im Voraus

Meine Ideen:
Ebenso Bestandteil der Aufgabe war die Lösung der Dgl. zu bestimmen, was aber für mich jetzt eher kein Problem darstellt.
Weiß aber nicht ob das weiterhilft.

armchairastronaut · Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 30 Wohnort: Keulen

Welche Geschwindigkeiten da im Gleichgewicht bleiben sollen, ist mir auch nicht klar. Abgesehen davon, dass 0,5kg für einen Apfel ziemlich viel und für einen Kopf ziemlich wenig ist, will sich mir auch die Interpretaton von beta nicht so recht erschließen. Du hast zwar keine Einheiten angegeben, aber beta müsste sowas wie "kg/s" sein. Das ist mit leider´auch nicht geläufig...

- · Gast

Dass Beta auch eine Einheit haben muss, ist natürlich richtig. Ansonsten scheint es sich um Reibung proportional zur Geschwindigkeit (z.B. Stokessche Reibung) zu handeln. Ohne Beschleunigung auf den Apfel wird sich jedoch keine Gleichgewichtsgeschwindigkeit des Apfels einstellen, sondern dessen Geschwindigkeit schlicht expoentiell abnehmen.

Ist die Aufgabe vollständig wiedergegeben?

Ehos · Anmeldungsdatum: 29.10.2010 Beiträge: 23

Zu lösen ist

mit der Masse

, dem Reibungskoeffizienten

und der Anfangsgeschwindigkeit

. (Die Einheit von

ergibt sich aus dem Kontext.)

Diese Dgl. tritt auf, wenn ein Körper mit einer gewissen Anfangsgescnwindigkeit durch eine geschwindigkeitsproportionale Reibung gebremst wird, wobei keine weiteren Kräfte wirken.

Wir wandeln die Dgl. 2.Ordung in eine Dgl. 1.Ordung um, indem wir die Substitution

durchführen, woraus durch Ableiten folgt

. Einsetzen ergibt die neue Dgl.

, deren allg. Lösung offenbar lautet

Die Integrationskonstante C ergibt sich aus der Anfangsgeschwindigkeit. Bei t=0 soll die Geschwindigkeit nämlich den Wert gelten

haben, also

.

Daraus folgt

. Einsetzen in die Lösung ergibt

Die Anfangsgeschwindigkeit nimmt also exponentiell ab und strebt gegen Null.

Mathewolf · Anmeldungsdatum: 18.02.2008 Beiträge: 23

Die Lösung von Ethos ist zwar richtig, aber mathematisch etwas schwammig.

Die Lösung der Differentialgleichung 1. Ordnung erfolgt mittels Trennung der Variablen und anschließend beidseitiger Integration.

Integration auf beiden Seiten ergibt

skylein · Gast

Danke für die schnellen Antworten, der Prof. wollte anscheinend nur die Differentialgleichung gelöst haben. So wie das Mathewolf gezeigt hat.

armchairastronaut · Anmeldungsdatum: 15.12.2006 Beiträge: 30 Wohnort: Keulen

Nachdem das Rechnerische nun geklärt wäre, würde mich interessieren, was man in diesem Zusammenhang unter "Gleichgewichtsgeschwindigkeit" verstehen soll?