stabiles/labiles Gleichgewicht

Oxtailsoup · Anmeldungsdatum: 11.09.2011 Beiträge: 22

Hallo!

folgende Frage. Wann ist ein Gleichgewicht stabil und wann ist es labil?

Soweit ich das weiß ist ein Gleichgewicht dann, wenn die Kraft auf den Körper null ist, also die Beschleunigung null ist.

Die Kraft ist die Ableitung des Potenzials mit Respekt zur Position... also

dU/dx = 0 --> Gleichgewicht.

gut, daraus folgt also wenn das Potenzial ein Maximum oder Minimum hat liegt dort ein Gleichgewicht vor... Das lässt gleich darauf schließen, dass wenn es ein Maximum ist (also die zweite Ableitung negativ ist) ist es ein labiles Gleichgewicht, wenn es ein Minimum ist stabil...

d²U/dx² < 0 --> stabil
d²U/dx² > 0 --> labil

Daraus folgt für mich gleich mal eine andere Frage... Was ist wenn die zweite Ableitung auch null ist? d²U/dx² = 0?

aber die eigentliche Frage ist, gibt es noch eine Möglichkeit zu ermitteln ob das Gleichgewicht stabil oder labil ist?

Ich habe eine Aufgabe mit Lagrangemechanik gelöst und soll die Gleichgewichte und ihre Art ermitteln.
Die Bewegungsgleichung ist ziemlich kompliziert also ich denk nicht, dass man sie analytisch lösen kann aber das muss man ja nicht um die Gleichgewichtspositionen zu finden.

ich hab also jetzt die Beschleunigung null gesetzt und dann ermittelt welchen Wert der ort hat.

aber woher weiß ich jetzt welcher Art das Gleichgewicht ist?

---- Punkt dazu:
Ich hab eine ähnliche Aufgabe mit Lösung gefunden auf Englisch. Hier wird geschrieben wenn die Geschwindigkeit real ist oder null ist es labil und wenn sie imaginär ist ist es stabil?

versteh ich nicht...

Ehos · Anmeldungsdatum: 29.10.2010 Beiträge: 23

Du schreibst, U(x) habe bei x ein stabiles Gleichgewicht, wenn U'(x)=0 und U''(x)<0 bzw. ein labiles Gleichgewicht, wenn U'(x)=0 und U''(x)>0. Das ist nicht exakt.

Richtig muss es heißen:
U(x) hat bei x ein stabiles/labiles Gleichgewicht, wenn dort ein Minimum/Maximum ist.

Zum Beispiel hat das Potenzial U=x^8 bei x=0 ein Minimum und folglich ein stabiles Gleichgewicht, obwohl die ersten sieben Ableitungen verschwinden. Wenn die ersten n Ableitungen bei x verschwinden, ist die (n+1)-te Ableitung, die nicht verschwindet, das Kriterium für Stabilität/Labilität.

Oxtailsoup · Anmeldungsdatum: 11.09.2011 Beiträge: 22

Ahh okay wenn also die zweite Ableitung ist muss man bei höheren Ableitungen nachsehen.

gut und was ist jetzt mit diesem Geschwindigkeits-Zeug? Schonmal davon gehört?

Vlt. noch dazu die Aufgabe, falls es interessiert oder nötig ist:

-------

Eine Perle gleitet auf einem reibungslosen Draht, der zu einer Parabel der Form kr² gebogen ist. Diese dreht sich um den Scheitelpunkt im Ursprung mit der Winkelgeschwindigkeit w.
Man soll nun in Zylinderkoordinaten rechnen (was ja sinn macht) und über Lagrange die Bewegungsgleichung aufstellen.

Anschließend wird nach Gleichgewichtslagen gefragt und ob diese stabil oder labil sind.