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Mickey_D_Blue
Anmeldungsdatum: 17.11.2011
Beiträge: 77
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 Mickey_D_Blue Verfasst am: 06. Dez 2011 15:31 Titel: Schwerpunktsberechnung |
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Die Aufgabe lautet wie folgt:
Wo liegt der Schwerpunkt eines halbkreisförmigen Bleches mit Radius R.
Die Berechnung ist mit Zerlegung in Scheiben, in Kreisbögen, sowie mit Kreissegmenten durchzuführen.
Mein Grundansatz besteht aus der Formel (Nutze Symmetrie):
 (Die untere Grenze des Int ist immer mit einem Minus behaftet, habs nur nicht geschafft zu Konvertieren)
Jetzt scheitere ich bei den ersten beiden immer an der Paramtrisierung.
Bei Scheiben:
Stelle Auf:  =  => dm =  dxdy
Das heißt mein Integral lautet wie folgt:
Jetzt weiß ich nciht weiter, da ich dx nicht anders ausdrücken kann. Ist also ne Sackgasse. Aber anders kommt es mir nicht in den Sinn.
Was muss ich beachten?
Wie komme ich auf den richtigen Weg?
Bei Kreisbögen Analog:
Danke im Voraus![/latex] |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 06. Dez 2011 16:53 Titel: |
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Polarkoordinaten sollten Abhilfe schaffen. |
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DerDepp
Anmeldungsdatum: 17.11.2011
Beiträge: 21
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| DerDepp Verfasst am: 06. Dez 2011 17:28 Titel: |
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Hossa 
Wir haben: Halbkreisförmiges Bleich, Radius R, Masse M.
Wir suchen: Schwerpunkt S
Bei homogen verteilter Masse innerhalb der Halb-Scheibe ist die Massendichte rho konstant und unabhängig von der Position (x,y) auf der Scheibe:
=\frac{M}{\frac{1}{2}\pi R^2}=:\rho_0)
Innerhalb der kleinen Rechteck-Fläche ABCD mit den Punkten
\,,\,B(x+\Delta x;y)\,,\,C(x+\Delta x;y+\Delta y)\,,\,D(x;y+\Delta y))
befindet sich dann die Masse
Die Formel für den Schwerpunkt lautet damit:
Legen wir das Blech mit der geraden Seite symmetrisch auf die x-Achse, so läuft bei der Integration die Variable x von -R bis +R und die Variable y von 0 und +R. Um diese Fläche mit dem Vektor r "abzutasten" empfiehlt sich der Wechsel von kartesichen Koordinaten zu Polarkoordinaten:
Der Winkel phi in dieser Parametrisierung läuft nur bis Pi, weil es sich um eine halbe Scheibe handelt. Nun müssen nur noch die Differentiale transformiert werden:
}{\partial(r,\varphi)}\,dr\,d\varphi=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi}\end{array}\right|\,dr\,d\varphi=\left|\begin{array}{cc}\cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right|\,dr\,d\varphi=r\,dr\,d\varphi)
Damit sind wir so gut wie fertig:
Der Schwerpunkt befindet sich also bei:
Ok?
Zuletzt bearbeitet von DerDepp am 06. Dez 2011 23:26, insgesamt einmal bearbeitet |
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Mickey_D_Blue
Anmeldungsdatum: 17.11.2011
Beiträge: 77
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| Mickey_D_Blue Verfasst am: 06. Dez 2011 18:03 Titel: |
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Mathematisch ist es mir bis auf die Differential-Transformation (weil nicht im Repertoire) einleuchtend.
Nur Graphisch happerts jetzt an allen Ecken.
Außerdem möchte ich nicht die Dimension wechseln und die Möglichkeit mit Rho ist mir zwar bekannt, bei meinem Prof aber unbeliebt, deshalb "Vermeidungswunsch" . . . (Um es milde auszudrücken)
Ich denke, Bilder helfen immer:
http://imageshack.us/f/64/p1040405h.jpg/
Hier sind Polarkoordinaten völliger Schwachsinn (oder lieg ich da falsch?) |
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fuss
Anmeldungsdatum: 25.05.2010
Beiträge: 519
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| fuss Verfasst am: 06. Dez 2011 20:23 Titel: |
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@DerDepp: Da kommt in den Zähler aber noch ne 4, oder?
Grafisch kannst du dir die Differentialtransformation so veranschaulichen, dass r d(phi) ein differenzieller Kreisbogen ist (Radius mal Winkel ergibt Umfang des Kreisbogens); multipliziert mit dr ergibt das dann sozusagen die differentielle Fläche so eines kleinen Kreisbogenstreifens.
Bezogen auf deinen ersten Beitrag: ich denke dein Fehler ist hier, dass dA nicht dxdy ist, sondern eben die Fläche so eines differentiellen Streifens (wie in der Abbildung) : dA= 2* Wurzel(R² - y²)*dy , wobei das 2*Wurzel(R² - y²) die Länge des Streifens bei der Höhe y ist. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 06. Dez 2011 21:19 Titel: |
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Was ist an
)
schlecht?
Und was an
gut? oder besser?
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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