Lagrange Gleichung 2. Art

Fjael · Anmeldungsdatum: 03.01.2012 Beiträge: 15

Hey=)
Ich komme hier bei der Aufgabe nicht weiter...
Es gilt ja:

wobei T die kinetische und U die potentielle Energie ist.
Für U gilt dann:

Für T gilt

mit

Dabei beschreibt

die Geschwindigkeit des Massepunktes bei der Bewegung auf einem Kreis in der x-z-Ebene und

die Geschwindigkeit des Massepunktes bei der Bewegung auf einem Kreis in der x-y-Ebenen.
Die Überlagerung der beiden Bewegungen sollte ja dann der gegebenen Bewegung entsprechen oder?
Also wenn man das in Polarkoordinaten darstellt, dann ist

und

Zusammegefasst ergibt sich dann also

Stimmt das soweit erstmal?
So und die Lagrangegleíchung 2.Art ist ja dann gegeben als:

Dabei sind die

ja die generalisierten Koordinaten...
In dem gegebenen Fall sind das ja

und R richtig?

kommt ja in der Gleichung gar nicht mehr vor...
Also muss ich dafür ja auch nicht ableiten.
Muss ich jetzt also nach R und

ableiten?
Oder nur nach

?
Wie muss ich jetzt weiter machen?
Und stimmt das soweit eigentlich erstmal? grübelnd

LG

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 498

Fjael · Anmeldungsdatum: 03.01.2012 Beiträge: 15

okay also:

richtig?

So und jetzt bleibt die Frage leite ich nur nach

ab?
Wenn ja warum?
Weil eigentlich hab ich doch R und

auch gewählt?

vielen Danke=)

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 498

Fjael · Anmeldungsdatum: 03.01.2012 Beiträge: 15

mmh also das mit der Skizze hab ich ja schon gemacht und bin halt nur auf das gekommen...
Hab sie jetzt nochmal mit paint gemacht und in den Anhang gesetzt, hoffe das einigermaßen erkennbar...
Versteh nicht so ganz wie die Bewegung nur von einem Winkel abhängen soll...
Okay ja das man für theta

einsetzen kann ist klar.

Ich dachte mir halt das so, dass die Bewegung des Massepunkt von jeweils zwei Faktoren beeinflusst wird.

Also einmal hat man ja die Bewegung auf dem Kreis.
Ich setze den jetzt erstmal auf die x-z-Ebene...
Das heist die y-Komponente wäre erstmal Null
Da ist die x- Koordinate ja gegeben als

Damit hätte ich ja die Auslenkung in x- Richtung wenn der Kreis still steht.

Da er aber in der Aufgabe ja noch um die z-Achse gedreht wird verändert sich ja die Position auf der x-Achse oder?

Und zwar genau um den Betrag, den Rotation um die z-Achse den Punkt in y-Richtung verschiebt, richtig?
So und hier kommt dann halt mein theta bzw.

ins Spiel...
Die Rotation des Kreises um die z-Achse entspricht ja einer Kreisbewegung in x-y-Ebene richtig?
Wobei bei der Skizze der Kreis eigentlich die Entfernung

vom Ursprung haben müsste...
Also müsste die y-Auslenkung, die ich von der x-Auslenkung abziehe, ja gebeben sein durch

und wenn ich das jetzt zusammen setze komme ich halt für x(t) auf das was ich vorhin aufgeschrieben habe und analog für y(t)...
kannst du mir vielleicht nochmal genau erklären wo bei der Überlegung der Fehler ist?
Lg

Fjael · Anmeldungsdatum: 03.01.2012 Beiträge: 15

mmh kay beim nochmal drüber gucken ist mir noch der gedanke gekommen

aber das ist glaub ich auch falsch oder? grübelnd

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 498

Hallo Fjael,

die Drehachse ist also die z-Achse, so wie Du eben gerade selber geschrieben hast. Das linke Bild ist damit OK, bis auf die Tatsache, dass in der ursprünglichen Aufgabenbeschreibung Phi als Winkel zwischen dem Massepunkt und der z-Achse (Drehachse) eingezeichnet wurde und nicht der Winkel zwischen Masspunkt und der x-Achse. Ein kleines aber wichtiges Detail.

Der Massepunkt ist damit um

von der Drehachse entfernt. Zusätzlich dreht sich diese Strecke dann in der xy-Ebene.

Es gilt also:

Schreibst Du noch y(t) auf? Ich hoffe Du hast noch Kraft, bzw. Motivation, an der Aufgabe weiter zu arbeiten. Hat man erst mal die Darstellung der Koordinatenfunktionen ist der Rest reines Ausrechnen.
Gruß

Fjael · Anmeldungsdatum: 03.01.2012 Beiträge: 15

ja motivation ist auf jedenfall noch da smile

werd allerdings heute erst später dazu kommen, würde mich aber freuen wenn du dann morgen oder so nochmal drüber gucken könntest...
vielen dank für die unterstützung!

Telefonmann · Anmeldungsdatum: 05.10.2011 Beiträge: 498

Fjael · Anmeldungsdatum: 03.01.2012 Beiträge: 15

mmh okay also der Abstand des Massepunktes in y-Richtung vor der Rotation ist ja 0...
also enspricht der Abstand insgesamt nur der durch der durch die Rotation "verschuldete " Auslenkung in y-Richtung?
somit

So und jetzt hab ich nochmal eine Frage...
Warum ist

ist mir irgendwie noch nicht so ganz klar grübelnd

Die Rotation lässt die position auf der z-Achse ja unberührt und oder?
und somit müsste doch einfach der in der Skizze dargestellte zusammenhang gelten?
Weil mit

hätte ich ja im Fall

einen Abstand in z-Richtung von 2R... und das geht ja laut der Vorraussetzungen gar nicht... Hilfe

Und die Herleitung von x(t) hab ich jetzt so verstanden:

als x-Abstand des Massepunktes von der z-Achse soweit ist klar.
Das ist also so zusagen der maximale Abstand in x-Richtung den mein Masseteilchen von der z-Achse haben kann für die Position auf dem Ring für den jeweiligen Winkel

, richtig?
So und jetzt drehe ich diese Strecke praktisch um

um die z-Achse und mit der Multiplikation mit

"gucke ich dann sozusagen welcher
Anteil dieser Strecke jetzt noch einen Abstand in x-Richtung zur z-Achse angibt richtig?

So hoffe das passt jetzt soweit...
LG Tanzen