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jhk1001
Anmeldungsdatum: 27.01.2012
Beiträge: 6
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 jhk1001 Verfasst am: 27. Jan 2012 21:37 Titel: Lorentz-Tensor unter Lorentztransformation |
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Hallo zusammen,
ich habe mir hier in der Vergangenheit schon desöfteren durch Lesen passiv helfen lassen, jetzt ist jedoch die Zeit gekommen, mal selber etwas zu fragen. Ich bin grade leider ein wenig in Zeitnot geraten und will nicht unnötig herumrechnen, daher ein paar konkretere Fragen zur folgenden Aufgabe:
T sei ein Lorentz-Tensor, d.h. er transformiert sich unter LT gemäß
Überprüfen sie explizit, ob
 T_{\mu\nu}T^{\nu\mu}
<br />
)
 T_{\mu\nu} T^\nu_\gamma T^{\gamma\mu}
<br />
)
 T_{\mu\nu} T^{\nu\gamma} T_{\gamma\epsilon} T^{\epsilon\mu}
<br />
)
Lorentz-Skalare sind, d.h. Größen, die invariant unter einer LT sind.
Wir hatten ähnliche Aufgaben mit (Vierer-) Vektoren, wo ich eigentlich einigermaßen durchgestiegen bin. Handelt sich ja im Prinzip nur um Anwendung von Rechenoperationben. Hier komme ich jedoch in totale Verwirrung mit den Indizes. Daher: ist mein Vorgehen richtig?
1):
(1+1-dim)
Hier wäre ja keine entsprechende Invarianz gegeben.
Ich bin mir da ganz und gar nicht sicher mit der Summationsregel, bzw. den Kronecker-Deltas und ob dies überhaupt das richtige Ergebnis ist.
Danke & Gruße  |
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Telefonmann
Anmeldungsdatum: 05.10.2011
Beiträge: 474
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| Telefonmann Verfasst am: 27. Jan 2012 22:14 Titel: |
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| jhk1001 hat Folgendes geschrieben: | |
Hallo jhk1001,
nimm als erste Zeile besser:
Dann machen die Kroneckers keine Probleme mehr. Die benennen in diesem Fall nur die Indizes um.
Gruß |
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Rmn
Anmeldungsdatum: 26.01.2010
Beiträge: 473
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| Rmn Verfasst am: 27. Jan 2012 23:16 Titel: |
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Du darfst nicht gleiche Indizes für verschiedene Summen verwenden. Der Index was bei deinem Kronecker-Delta oben steht unterscheidet sich von dem, was unter steht. Du hast jedoch beide Rho und Kappa genannt. Schaue, wie Telefonmann es gemacht hat, er hat ein mal Rho und Kappa benutzt und ein anderes mal Alpha und Beta.
Zuletzt bearbeitet von Rmn am 28. Jan 2012 06:00, insgesamt einmal bearbeitet |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 27. Jan 2012 23:29 Titel: |
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Faustregel: in beliebigen Ausdrücken ist ein Index entweder ungepaart, oder gepaart und dann genau einmal oben und genau einmal unten
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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jhk1001
Anmeldungsdatum: 27.01.2012
Beiträge: 6
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| jhk1001 Verfasst am: 28. Jan 2012 11:05 Titel: |
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Hey,
vielen Dank für die Hilfestellungen!
Gehe ich dann richtig in der Annahme, dass es so aussehen müsste?
Womit ja dann Invarianz gezeigt wäre. Gestaltet sich das analog bei den anderen Aufgaben? Kann man die Indexschlacht bei der 3) irgendwie vermeiden?
Vielen Dank & Gruß |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 28. Jan 2012 11:33 Titel: |
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| jhk1001 hat Folgendes geschrieben: | | Kann man die Indexschlacht bei der 3) irgendwie vermeiden? |
Nein, man muss das explizit zeigen - es sei denn du argumentierst einmal wie folgt - und erschlägst damit alle Aufgaben
\,(\Lambda^{\mu_2}{}_{\rho_2}\,T^{\rho_2\,\rho_3}\,\Lambda_{\rho_3}{}^{\mu_3})\ldots = \Lambda_{\alpha}{}^{\nu_1}\,T_{\nu_1\,\nu_2}\,(\Lambda^{\nu_2}{}_{\mu_2}\,\Lambda^{\mu_2}{}_{\rho_2})\,T^{\rho_2\,\rho_3}\,(\Lambda_{\rho_3}{}^{\mu_3}\ldots)\ldots = \Lambda_{\alpha}{}^{\nu_1}\,T_{\nu_1\,\nu_2}\,(\delta^{\nu_2}{}_{\rho_2})\,T^{\rho_2\,\rho_3}\,(\delta_{\rho_3}{}^{\ldots})\ldots )
Du zeigst also, dass strukturell die Lorentz-Trf. dieses Ausdrucks nichts weiter ist als
 (\Lambda T \Lambda^{-1})\ldots = \Lambda T (\Lambda^{-1}\Lambda) T (\Lambda^{-1} \ldots)\ldots = \Lambda T T \ldots \Lambda^{-1})
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jhk1001
Anmeldungsdatum: 27.01.2012
Beiträge: 6
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| jhk1001 Verfasst am: 29. Jan 2012 11:41 Titel: |
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Hey, vielen Dank für den Hinweis. Habe mich jetzt doch dafür entschieden, die ganze Geschichte mal hinzuschreiben, um mein Verständnis zu fördern. Ergebnis wäre wie folgt:
2):
3): analog zur 1), Ergebnis wäre
Also Invarianz für alle gegebenen Größen. Richtig so?
Ach ja: welches Argument gibt mir die Möglichkeit, die LT's einfach so herumzuschieben? Deren Symmetrie? (?) |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2012 11:51 Titel: |
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Mit herumschieben meinst du, sie beliebig zwischen die T's einzusortieren, so dass zu kontrahierende Indizes nebeneinanderstehen?
Nun ja, meine Anordnung ist die natürlichere, denn ich betrachte jedes T isoliert für sich, daraus ergibt sich die Anordnung automatisch. Damit benötige ich letztlich auch gar keine Indizes mehr.
Wenn du die Schreibweise mit Indizes bevorzugstm, dann solltest du folgendes beachten: das Symbol  bezeichnet einen Tensor zweiter Stufe, die Rechenregen bzgl. Indexkontraktion entsprechen denen von 2*2 Matrizen; das Symbol  bezeichnet für jedes konkrete Indexpaaar  eine Zahl (!) daher darfst du deine Symbole beliebig umsortieren.
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jhk1001
Anmeldungsdatum: 27.01.2012
Beiträge: 6
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| jhk1001 Verfasst am: 29. Jan 2012 12:26 Titel: |
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| TomS hat Folgendes geschrieben: | Mit herumschieben meinst du, sie beliebig zwischen die T's einzusortieren, so dass zu kontrahierende Indizes nebeneinanderstehen?
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Genau das meinte ich. 
Prinzipiell ist mir klar, dass es sich bei den indizierten Größen jeweils um eine Zahl handelt, aber das "Spielen" damit unterliegt doch gewissen Regeln, die mir nur Stück für Stück klar werden (besonders, nach welchen Kriterien die Summe letztlich gebildet wird, bzw. nach welchem Index summiert wird, finde ich teilweise verwirrend bei einer solchen Menge von Größen). Dennoch ist mir die Sache klarer geworden.
Ich habe noch eine weitere Teilaufgabe, zu der ich eine Frage bzgl. des Vorgehens hätte:
Zu zeigen ist, dass die Symmetrie, bzw. Antisymmetrie eines entsprechenden Tensors, d.h.
) ,
bzw.
)
bei einer LT erhalten bleibt. Mein Ansatz wäre hier wie folgt:
}{=} \Lambda^\nu_\beta\Lambda^\mu_\alpha T^{\beta\alpha}=T'^{\nu\mu})
Für die Antisymmetrie halt analog. Macht das Sinn?
Danke! |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 29. Jan 2012 14:20 Titel: |
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ja, aber einfacher
}{=}\Lambda^\mu_\alpha\,T^{\beta\alpha}\,\Lambda_\beta^\nu \underset{(\ast)}{=}\Lambda_\beta^\nu\,T^{\beta\alpha}\,\Lambda^\mu_\alpha = {T^\prime}^{\nu\mu})
mit (1) für 
und (*) für das Vertauschen der Symbole
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jhk1001
Anmeldungsdatum: 27.01.2012
Beiträge: 6
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| jhk1001 Verfasst am: 30. Jan 2012 12:29 Titel: |
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Alles klar, vielen Dank! |
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