Lagrange 1. Art

Physikgast17 · Gast

Hi,

kurze Frage. Beim Lagrange 1. Art mit einer Zwangsbedingung g, also:

Nehmen wir an, meine Zwangsbedingung ist in Zylinderkoordinaten gegeben. Kann ich dann einfach den Lagrange in Zylinderkoordinaten statt kartesischen benutzen, sprich den Gradienten einfach in Zylinderkoordinaten auf meine Zwangsbedingung anwenden?

Mal ein Beispiel. Teilchen auf Oberfläche eines Paraboloiden.

ZB:

Und in Zylinderkoordinaten:

Wenn ich den Ortsvektor jetzt auch in der Form:

mit

und

als generalisierte Koordinaten aufschreibe, mache ich doch nichts falsch und müsste am Ende die Zwangskräfte in Abhängigkeit von den generalisierten Koordinaten rauskriegen, oder?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Du darfst die Zwangsbedingung nicht schon im Ortsvektor verarbeiten! Sicher darfst du den Ortsvektor bzw. den Gradienten in Zylinderkoordinaten ausdrücken, allerdings wird dir das keinen Vorteil bringen.

Dabei musst du aber beachten, dass dieser Übergang keiner wirklichen Transformation der generalisierten Koordinaten entspricht. Ansonsten müsste die komplette Gleichung anders aussehen.

Physikgast17 · Gast

Hm, keinen Vorteil? Also die Aufgabenstellung ist explizit, die Zwangskräfte

in Abhängigkeit der beiden generalisierten Koordinaten

darzustellen. Wenn's aber keinen Vorteil hat, würde ich einfach wie gewohnt in kartesischen Koordinaten rechnen und ganz am Ende beim Endergebnis einfach die x, y und z substitutieren. Wäre das auch ok?

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Vergess nicht, dass Gradient in Zylinderkoordinaten anders aussieht, als in kartesischen.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Wenn du es wirklich in Zylinderkoordinaten als generalisierte Koordinaten

machen willst, dann muss anders ansetzen:
Zuerst Lagrangefunktion aufstellen in deinen generalisierten Koordinaten. Genauso die Zwangsbedingung

Dann, und nur dann sind deine Bewegungsgleichungen:

Mit deinen generalisierten Kräften

und den generalisierten Zwangskräften

...

Physikgast17 · Gast

Ok, das hilft mir schon etwas weiter. Schau dir mal bitte Aufgabe 24 hier an:

cond-mat.physik.uni-mainz.de/~weigel/Mechanik/loesung6.pdf

Da sind die Bewegungsgleichungen und die Lagrangefkt. auch schon aufgestellt. Das heißt, bis aufs

ist das schon gelöst. Wie komme ich aufs Lambda?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Die Lösung ist im Lagrangeformalismus 2. Art, dort werden die Zwangsbedingungen schon in der Lagrangefunktion berücksichtigt und daher taucht auch kein Lagrange-Multiplikator

auf.

D.h. deine Bewegungsgleichungen sehen zunächst etwas anders aus, da z mit zu berücksichtigt ist, allerdings hast du eine weiteren Freiheitsgrad, den Lagrange-Multiplikator und als vierte Gleichung die Zwangsbedingung. Anschließend gehen damit aber die Bewegungsgleichungen, wenn du richtig weiter rechnest, in die der angesprochen Lösung über.