Elektrostatisches Potenzial

phymal · Anmeldungsdatum: 14.08.2007 Beiträge: 8

Meine Frage:
Hallo
Mich würde es interessieren wie man an diese Darstellung des Potenzials kommt.

Meine Ideen:
Es müsste sich "lediglich" um die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung handeln, mit einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung:

Ich denke am besten klappt der Beweis mit Hilfe von Kugelkoordinaten, jedoch weiß ich nicht so recht wie man da ansetzt, da es sich schließlich um eine Partielle Dgl 2 Ordnung handelt.
Oder mit anderen Worten, ist es überhaupt Sinnvoll sich diese Frage zu stellen, da der Beweis sehr mathematisch sein könnte und sehr viele Annahmen getroffen werden müssten (Hab da etwas mit Fundamentallösungen etc. gelesen?)
Oder gibt es doch eine anschaulichere, relativ einfache Erklärung?

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Willst du nur zeigen, dass dein Ausdruck eine Lösung der Poissongleichung (mit der Randbedingung, dass das Potential im Unendlichen verschwindet) ist oder den anderen Weg gehen?

phymal · Anmeldungsdatum: 14.08.2007 Beiträge: 8

den anderen.
Gerechnet selber habe ich bereits damit, jedoch habe ich die Formel immer als gegeben angesehen und nie hinterfragt wo sie herkommt. Auch weil wir sie auch selber nicht explizit hergleitet haben.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Es gib unzählige Wege wie man darauf kommt. Hängt davon ab, wo man starten will.
z.B. Das elektrisches Feld ist an Hand der experimentell gefundener Coulomkraft definiert:

mit der einfachen Ableitungsregel

folgt

Der Ausdruck in Klammer ist dann als elektrische Potential definiert. Dass elektrische Feld ein Gradientfeld ist, kann direkt nachrechnen, z.B. Rotation berechnen.

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Das macht man indem man die Green-Funktion des Laplaceoperators bestimmt. Hier findest du eine gute und knappe Darstellung dieser Rechnung:

http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/edyn/node10.html

Und hier ein bisschen anders gerechnet, dafür ausführlicher:

http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~ploetz/GF.pdf

phymal · Anmeldungsdatum: 14.08.2007 Beiträge: 8

Als relativ anschaulich empfand ich, dass das Potenzial einer Punktladung im Ursprung

als Stoßantwort eines Systems betrachtet wird.
Nun wird diese Punktladung mit Hilfe einer Distribution als Raumladungsdichte ausgedrückt.
Um nun für den gesamten Raum sprechen zu können muss man ein Faltungsintegral lösen welches sich über den gesamten Raum erstreckt.

Jedoch habe ich doch nicht überall Punktladungen in einer Raumladungsdichte, sondern nur eine Dichte an sich...
Wie kriegt man das unter einen Hut?

Hoffe das ist irgendwie verständlich was ich damit meine. Falls nicht bitte sagt mir wo.

edit: Während ich das schrieb kamen die ganzen anderen Antworten rein. Wäre super wenn hier nochmal einer drüber gucken könnte.

kingcools · Anmeldungsdatum: 16.01.2011 Beiträge: 700

Ist relativ einfach wenn du nachschaust wie verschiedene darstellung(smöglichkeiten) der deltafunktion aussehen.
Wenn ich mich recht erinnere ist laplace *(1/r) die delta funktion(bzw erfüllt alle ihre eigenschaften).
Das laplace in der laplacegleichung bezieht sich explizit eben auf x und nicht auf x'.