Relativitätstheorie, Zeitdilatation??

Kubitzek · Anmeldungsdatum: 05.04.2012 Beiträge: 1

Meine Frage:
Ein übliches Beispiel für die Zeitdilatation ist das Zwillingsparadoxon: 1 Zwilling fliegt mit einem Raumschiff von der Erde weg, erreicht fast Lichtgeschwindigkeit, kommt zurück und ist weniger gealtert. Aber: ... Umgekehrt gilt doch auch für den "reisenden" Zwilling, das der zurückgebliebene Zwilling auf der Erde relativ zu ihm fast Lichtgeschwindigkeit erreicht und daher langsamer altert. Also kann die Ursache für das geringere Altern des Zwillings, der unterwegs gewesen ist, nicht die Geschwindigkeit sein. Es kann nur in den Beschleunigungsphasen liegen, oder???? Im Extremfall kann man auch 2 auseinanderfliegende Raumschiffe betrachten, die symmetrisch auseinanderfliegen, fast Lichtgeschwindigkeit erreichen und wieder zusammenkommen. Aufgrund der Symmetrie, sind die Insassen gleich stark gealtert. Aus der Perspektive jedes der beiden Raumschiffe, hatte das andere Raumschiff aber fast Lichtgeschwindigkeit und damit die Zeitdilatation zur Folge. Also: Liegt die eigentliche Ursache für das Zwillingsparadoxon in den Beschleunigungsphasen und nicht in den Geschwindigkeiten?

Meine Ideen:
Ich denke, dass die Zeitdilatation symmetrisch gilt, da sie ja aus der Sicht beider Betrachter gilt. Kommen die beiden Betrachter jedoch wieder an einem Ort zusammen, so bleiben in der Summe nur die asymmetrischen Effekte als Unterschied in der verstrichenen Zeit übrig. Die Asymmetrie liegt aber rein in den Beschleunigungsphasen. In diesem Fall wäre es aber vollkommen gleichgültig, wie lange der weggeflogene Zwilling eine hohe Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit beibehalten hätte. Es zählt lediglich die Beschleunigungsphase. Dies müssste rechnerisch auch so herauskommen, wobei das nicht ganz so einfach zu rechnen ist, wie die simple Zeitdilatationsformel für eine konstante Geschwindigkeit. Man muss dann schon Integrale über den ganzen Weg bilden und dies aus der Sicht von jedem der beiden Zwillinge.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Deine Gedanken gehen in die richtige Richtung und man kann das auch mathematisch formulieren.

Man betrachtet dazu zwei Kurven, d.h. die Weltlinien der beiden Zwillinge in der vierdimensionalen Raumzeit, die einen gemeinsamen Start- sowie Endpunkt haben. Die Eigenzeit tau entlang einer derartigen Kurve C, also die Zeit, die ein Zwilling auf einer mitbewegten Uhr misst und die für ihn vergeht, lautet

Zur Berechnung des Kurvenintegrals benötigt man die "vierdimensionale Länge" im Minkowski-Raum, d.h.

wobei der Punkt die Ableitung nach einer Koordinatenzeit in einem beliebigen Koordinatensystem bedeutet. Geschickterweise wählt man ein gemeinsames Koordinatensystem für beide Zwillinge, so dass man wie folgt zusammenfassen kann:

Hier bedeutet t jeweils die Koordinatenzeit und v(t) die Geschwindigkeit des jeweiligen Zwillings im gewählten Koordinatensystem.

Zuletzt betrachtet man den Spezialfall, dass der erste Zwilling in einem Inertialsystem ruht. Dann kann man dessen Ruhesystem als Bezugssystem verwenden, d.h. die Koordinatenzeit t sowie die Eigenzeit \tau des ersten Zwillings identifizieren. Man erhält

Natürlich kann v(t) des zweiten Zwillings nicht vektoriell konstant sein, denn sonst könnte er nicht umkehren und zum ersten Zwilling und zu einem gemeinsamen Endpunkt zurückkehren. Man kann sich jedoch statt eines geraden Hin- und Rückfluges mit Verzögerung, Umkehren und Beschleunigen auch eine Kreisbahn mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag vorstellen. In diesem Spezialfall gilt für das Integral

D.h. man erhält tatsächlich die Zeitdilatation wie für einen geradlinigen Flug unter Vernachlässigung jeglicher Beschleunigung.

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