Schwingungen und Eigenwerte

Passepartout · Anmeldungsdatum: 02.06.2005 Beiträge: 172 Wohnort: Lausanne

Hallo mal wieder,

die Klausur steht an, einige Wissen es bereits und ich bin mal wieder am auflaufen:

Und zwar geht es um gekoppelte Oszillatoren.
Habe das mal für zwei Massen durchgespielt. Sieht ungefähr so aus

(Zwei Massenpunkte mit gleicher Masse und drei Federn mit gleicher Federkonstante, also denkbar einfach).

Die Bewegungsgleichungen sind mir klar:

Das kann man ja nun auch schön auf eine Matrixschreibweise bringen:

Nun habe ich gelernt die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix

zu berechnen, warum das so ist, weiß ich auch nicht genau. Das geht ja mit folgendem Ansatz:

Habe nun auch die Eigenwerte (k, 3k) und die Eigenvektoren berechnet:

Nun habe ich aber keine Ahnung, wie ich nun gescheit weiter kommen kann auf eine allgemeine Lösung...?

Für Hilfe wäre ich dankbar Wink

,
Michael

Bastue · Gast

Hey ,

hab hier gerade ein Beispiel vor mir wo die Federkonstante in der mitte k und außen jeweils c ist ..

dann hast du ne Matrix

(c+k)m -k/m
-k/m (c+k)/m

davon die Eigenwerte sind c/mm und c+2k/m ..... durch Wurzelziehen erhälst du dann die zwei Normalschwingungen

Passepartout · Anmeldungsdatum: 02.06.2005 Beiträge: 172 Wohnort: Lausanne

Hallo,

ja, das ist mir bekannt.
Nur müsste ich daraus ja nun eine allgemeine Lösung für die Oszillation angeben können, die ich dann mit Anfangsbedingungen ausfülle.

Habe etwas gesehen in dieser Art:

Dementsprechend wäre das für meinen Fall:

Aber in der Vorlesung kamen wir auf 4 Paramter, die es durch Anfangsbedingungen zu ermitteln galt, was imho, bei zwei Massenpunkten auch besser hinhaut.
Oder kommen die beiden anderen Bedingungen noch durch die Vektoren vor, die ich noch stehen habe?

Wäre schön, wenn noch jemand eine zündende Idee hat.
Liebe Grüße Wink

,
Michael

P.S.: @Bastue, ich glaube, wir bereiten uns auf die gleiche Klausur vor Augenzwinkern

navajo · Moderator Anmeldungsdatum: 12.03.2004 Beiträge: 618 Wohnort: Bielefeld

Huhu,

Das was du da ansetzt ist imo ne Lösung für eine DGL der Form

Da ist die Lösungsbasis gegeben durch

(wenn man nur einfache EWe hat.).

Aber du hast ja nun eine DGL 2ter Ordnung. Daraus kannst du dir aber eine erster Ordnung raus baun, dann musst halt mit ner 4x4-Matrix rechnen. Aber das ist ja auch nicht unbedingt schön.

Im Gerthsen schreiben nehmen se sich einfach die Eigenschwingungen her und überlagern die und fertig. Hmm, aber kein Plan warum man das darf. grübelnd