Isotroper harmonischer Ozillator

prechti1992 · Gast

Meine Frage:
Gegeben sei ein Teilchen der Masse m im Potential

a) Berechnen sie die Kraft F(r) und zeigen sie damit explizit, das der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist.

b) Drücken sie den Betrag des Drehimpulses und die Gesamtenergie E mithilfe ihrer Ergebnisse aus Aufgabe 1 in ebenen Polarkoordinaten aus (Wieso ist das erlaubt?). Eliminieren sie

unter Verwendung der Drehimpulserhaltung! Bestimmen sie eine untere Schranke E(min) von E (sog. Zentrifugalbarriere)

Meine Ideen:
a)

Also die Kraft kann ich ja noch relativ leicht aus der Ableitung des Potentials bestimmen (mit -1 multipliziert) folgt:

Damit ich jetzt zeigen kann, das der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist, muss ich doch "nur" zeigen das

wobei das "x" hier das kreuzprodukt darstellen sollt - soll ich nun meine kraft nehmen, nach r auflösen und dann einfach einsetzten? Weil p = m * v also kann ich ja meinen nach r aufgelöste Kraft noch einmal ableiten um v zu erhalten - oder ist das kompletter Bockmist?^^

b)
Soweit ich weiß kann ich dadurch das der Drehimpuls erhalten ist einfach meine z - Achse so legen , das sie mit L übereinstimmt was mir ja dann die ebenen Polarkoordinaten ermöglicht...

Nur kann ich diese Polarkoordinaten einfach nicht, damit werde ich iwie nicht warm und aus meinem Skript werde ich nicht schlau - Hilfe? =)

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Generell bleibt bei einem kugelsymmetrischen Potential (Zentralkraft) der Drehimpuls (bezogen auf das Zentrum!) erhalten: Drehmoment r x F ist ja null.

prechti1992 · Gast

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

F und r sind parallel. Welchen Wert hat also das Kreuzprodukt r x F (Drehmoment)?
Dieses Drehmoment seinerseits ist die zeitliche Änderung des Drehimpulses ...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Mit dem Lagrangeformalismus ist das recht einfach. Für ein beliebiges Zentralpotential gilt

Nun ist in Polarkoordinaten

d.h. phi ist zyklisch und damit gilt für den Drehimpuls J

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Das ist natürlich eleganter und verführt sogar zu Weiterungen: Daß zum Beispiel aus der Invarianz der Lagrangefunktion eines Massepunktsystems gegenüber räumlichen Drehungen sich die angesprochene Erhaltungsgröße ergibt.
PS Haben wir unseren Gast vergrault?