Matrixelemente des orts- und Impulsoperators

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Hallo,

Meine Frage:

Wir haben in der Vorlesung die normierten Energie-Eigenfunktion des HO hergeleitet:

mit

und

Nun sollen die Matrixelemente des Orts- und Impulsoperators bestimmt werden, also:

und

Mein Ansatz:

Mittels den Darstellungen

und

folgt:

Wie geht man denn nun weiter vor? Leider habe ich da aktuell keinen Durchblick grübelnd

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Bitte dringendst um ein Feedback bzw. einen Initial-Tipp. Ist die Vorgehensweise falsch?

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Nun macht mir

Probleme: ich weiß, dass es sich bei den

um eine VONB handelt, ich habe
aber keine Aussage darüber, wie

und

zueinander stehen. Wenn ich wüsste, dass

wäre,
wäre ich schon fertig, denn es gilt ja

. Habe ich etwas in der Aufgabe übersehen?

http://s7.directupload.net/images/120604/r8jqau5g.jpg

Friedi · Anmeldungsdatum: 06.05.2012 Beiträge: 30

wie bekommst du in der vierten zeile das â in das

hinein?

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Sorry, ich verstehe Deine Frage gerade nicht. Beim Übergang von Zeile
3 zu Zeile 4 nutze ich aus, dass (a^+)(phi_n) = (sqrt(n+1))(phi_n+1).
Beantwortet das Deine Frage? Ansonsten mache ich nur Ausmultiplizier-
erei und wende Rechenregeln der BraKet-Notation an. Übrigens ist die
Rechnung für den Impuls analog. Am Ende habe ich jeweils noch das
Skalarprodukt <phi_m | phi_n+1> in delta_m,n+1 umgeschrieben,
definiert als 1 für m = n+1 und 0 für m ungleich n+1.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Fehler in Zeile 4: (a)(phi_n) ist (sqrt(n))(phi_n-1)
und nicht (sqrt(n))(phi_n+1). Sch... ! Ich muss
wissen, was <phi_m | phi_n+1> und was dann
<phi_m | phi_n-1> ergeben!!!

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Ich habe die zwei Skalarprodukte nun einfach folgendermaßen
ersetzt, denn ich wüsste nicht, was ich für andere Aussagen
über sie treffen kann, da das Verhältnis m zu n unbekannt ist,
wenngleich auch bekannt ist, dass die phi's eine VONB bilden:

Für die Matrixelemente des Impuls-Operators ist es analog.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

m und n sind beliebig wählbare natürliche Zahlen. Sie stellen sozusagen Spalten- und Zeilennummern deiner Matrix dar. Z.B. wäre Matrixelement 11 m=1 und n=1.
Aus deiner letzen Zeile kann man ablesen, dass alle Matrixelemente 0 sind, außer m=n+1 oder m=n-1, wo sie entsprechende Vorfaktoren(ganze Kramm unter Wurzeln) darstellen.

TruEnemy · Anmeldungsdatum: 01.11.2010 Beiträge: 516

Danke, das war mir mehr oder minder klar, aber Deine Erläuterung ist sehr schön
anschaulich. Ich hoffe also, dass ich mit meiner Rechnung nicht allzu falsch lag Tanzen

Für den Impuls-Operator ergibt sich ja die selbe Rechnung, nicht? Der Vorfaktor ist
zwar ein anderer, es ist nämlich

, aber man kommt davon
abgesehen auf das selbe Ergebnis, nur mit einem negativen Vorzeichen zwischen
den Kronecker-Deltas, und eben einem anderen Vorfaktor.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Ja