Eigenwertproblem

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Meine Frage:
Hallo,
hab ne kleine Frage bezüglich einer Schreibweise zum Eigenwertproblem... Dachte, ich schreib das mal hier rein, weil das bei gekoppelten DGL wichtig ist...
Mein Ziel ist es ja, eine Matrix A so umzuformen, dass sie nur noch auf der Hauptdiagonalen Elemente ungleich 0 hat. Jetzt steht dazu aber in meinem Buch:

Ich verstehe das aber nicht so ganz: Wenn ich eine Matrix zuerst mit einer Drehmatrix und danach mit der transformierten Drehmatrix multipliziere, mache ich die Drehung doch rückgängig und es passiert überhaupt nichts? Wenn man die transformierte Drehmatrix weglassen würde, wäre mir die Gleichung klar, aber so leider nicht.
Wäre schön, wenn mir da mal jemand auf die Sprünge helfen könnte smile

viele Grüße
Nima93

Meine Ideen:
:/

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Nein, das "Rückgängigmachen" der Drehung sieht anders aus:

Hier handelt es sich aber um ein Eigenwertproblem

Nun führst du eine Diagonalisierung (mit der zunächst unbekannten) Matrix D aus, d.h. zunächst

Das darfst du tun, weil sich die Drehungen vor dem x wegheben und weil das D ganz links sowieso nur noch auf den Nullvektor wirkt.

Nun führst du aber eine neue Bezeichnung ein, nämlich

Da D nicht mit A vertauscht, sind A und A’ nicht identisch! Beim Eigenwert ist das anders, dieser ändert sich nicht. Außerdem führst du noch ein x’ ein

und erhältst

d.h. durch die Drehung änderst du A sowie x, nicht jedoch die Eigenwerte und damit auch nicht das Eigenwertproblem an sich. Es handelt sich letztlich um eine Basistransformation.

A und A’ sind jedoch unterschiedliche Matrizen.

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Hallo und danke erstmal!
Das mit der Rückdrehung war quatsch, das seh ich ein, dafür stimmt die Reihenfolge ja nicht...
Aber ich verstehe trotzdem noch nicht ganz, wozu die inverse Matrix der Drehmatrix am Ende noch dranmultipliziert wird...

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Deswegen

A ist nicht diagonal, A' dagegen schon. Die Gleichung muss eben transformiert werden - und die o.g. Trf. ist genau die richtige. Und nur mit einer derartigen Trf. kannst du Matrizen i.A. überhaupt diagonalisieren!

Nima93 · Anmeldungsdatum: 08.01.2012 Beiträge: 221

Ich stell mich wahrscheinlich grad ziemlich doof an, aber ich verstehe das mit dem Inversen immer noch nicht so ganz. Kann ich eine Drehmatrix nicht einfach durch multiplikation auf eine andere Matrix anwenden? Bei Vektoren geht das doch auch?
(sry, bin noch nicht so vertraut mit LA)

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Natürlich wendest du die Drehmatrix ohne Invertierung o.ä. auf einen Vektor an.

Hier wendest du jedoch zunächst keine Drehung an, sondern du schiebst einfach eine Eins ein:

Erst anschließend interpretierst du das rechte D als Drehung, angewandt auf x. Das ist eine Basistransformation.

Um nun auch die Matrix A bzgl. der neuen Basis darstellen zu können, berechnest du

Der Formalismus sagt dir also, dass wenn du D als Drehung eines Vektors x auffassen möchtest, wie du dann eine Matrix A zu "drehen" hast - und da brauchst du einfach die beiden Drehmatrizen rechts und links von A.