Elektrostatische Energie

McClane · Anmeldungsdatum: 02.06.2012 Beiträge: 63

Hallo,

ich verstehe folgende Umformung nicht ganz. Vor allem woher auf einmal das 1/2 herkommt. Vielleicht kann jemand helfen.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Das stimmt so nicht auf der linken Seite. Da muss die obere Grenze einer Summe gleich dem Index der andere Summe sein.

McClane · Anmeldungsdatum: 02.06.2012 Beiträge: 63

Das steht bei uns genauso im Skript der Vorlesung.

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Ja, ich sehe jetzt, dass es stimmt, nur ungewöhnlich abgezählt.
Um zu sehen, warum es so ist, muss man einfach einige Terme aufschreiben. Führen wir eine Abkürzung

und schauen wir uns erstmal die linke Summe an

für N=3 haben wir dann folgende Terme

Entsprechend für die rechte Summe

haben wir folgende Terme

nun gilt offensichtlich

womit die zweite Summe dann zu

wird. Das ist jedoch genau das doppelte der ersten Summe.

Die Struktur kannst du in Form von Tabellen im Anhang sehen. (oben linke Summe, unten rechte Summe)

pressure · Anmeldungsdatum: 22.02.2007 Beiträge: 2496

Oder in Kurzschreibweise:

Das ist meiner Meinung so ein bisschen einsichtiger, weil auf das Wesentliche verkürzt. Mit

vermeidet man, dass jeder Term aufgrund der Symmetrie doppelt auftritt, wie es rechts der Fall ist. Daher der Faktor 2.

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Noch einsichtiger ist

<ij> bedeutet, dass über Paare von Indizes genau einmal summiert werden soll, dass also <12> und <21> nicht doppelt gezählt werden, und dass Diagonaleinträge wie <11> nicht beitragen.

McClane · Anmeldungsdatum: 02.06.2012 Beiträge: 63

Vielen Dank für die Antwort. Soweit habe ich das verstanden. In der weiteren Behandlung des elektrostatischen Potentials hat sich jedoch ein weiteres Problem für mich ergeben:

Mich wundert der Schritt, um auf den zweiten Teil zu kommen, da die partielle Integration bei mir noch einen Term vor dem Integral ergibt. Woher kommen die Betragsstriche?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

Deine partielle Integration stimmt nicht; es gilt statt dessen:

denn es ist ja

McClane · Anmeldungsdatum: 02.06.2012 Beiträge: 63

Ok stimmt. Trotzdem verstehe ich die Betragsstriche nicht ganz. Sind die nicht überflüssig?

TomS · Moderator Anmeldungsdatum: 20.03.2009 Beiträge: 21469

eigtl. sind sie überflüssig; grad*phi ist ein Vektor, daher ist das Betragsquadrat natürlich einfach das Quadrat des Vektors; du könntest statt dessen auch Klammern schreiben

McClane · Anmeldungsdatum: 02.06.2012 Beiträge: 63

Danke für die Hilfe smile