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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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 Nima93 Verfasst am: 20. Jul 2012 21:20 Titel: Euler-Lagrange-Gleichung |
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Meine Frage:
Hallo,
Hat zufällig jemand das Fließbach-Lehrbuch zur klassischen Mechanik zur hand, und kann mir sagen, was bei der Herleitung der Euler-Lagrange-Formel ab 12.12 (s.97) passiert? Bin nämlich ziemlich ratlos.
Wäre super wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, ich finde das ganze Thema gerade etwas verwirrend :/
Viele Grüße
Nima93
Meine Ideen:
Dieses große O(epsilon²) ist doch ein Taylorrestglied? Aber wie wurde hier was entwickelt, und warum? Habe schon versucht, in die Taylorformel irgendwie einzusetzen, aber ich weiß nicht, wie das gehen soll. |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 20. Jul 2012 21:29 Titel: |
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ich kann es dir evtl. erklären, wenn du die Gleichung hier reinstellst; den Fließbach habe ich gerade nicht zur Hand (obwohl ich mal ein Büro neben ihm hatte ;-)
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Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 20. Jul 2012 21:37 Titel: Re: Euler-Lagrange-Gleichung |
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| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | [.,..]
Dieses große O(epsilon²) ist doch ein Taylorrestglied? Aber wie wurde hier was entwickelt, und warum? Habe schon versucht, in die Taylorformel irgendwie einzusetzen, aber ich weiß nicht, wie das gehen soll. |
Das ist einfach eine Taylorreihe, die nach dem ersten Glied abgebrochen wurde (ohne Mischglied), etwas verwirrend, die Abkürzungen stehen erst auf der Seite danach. Entwicklung erfolgt um epsilon = 0, da hier ein Minimum vorliegen muss, für das man sich interessiert.
Es ist:
 \approx F(y,y')+{\partial F \over \partial y} \eta \epsilon +{\partial F \over \partial y'} \eta ' \epsilon ' ) |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 20. Jul 2012 21:59 Titel: |
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Also Ziel ist es ja, ein beliebiges Funktional (Funktion F und Randwerte y(x1) = y1, y(x2)=y2 als gegeben vorausgesetzt) zu minimieren, also die Funktion y zu finden, für die der zugeordnete Wert am kleinsten wird. Dann nehmen wir ja an, y(x) sei diese gesuchte Funktion und sagen, jede um Epsilon*n (n beliebige Funktion, die aber für x1 und x2 null wird) ist größer als y(x).
Dann ist scheinbar analog zu normalen Funktionen  , falls wir für Epsilon null einsetzen.
Das ist der erste Punkt, den ich nicht so ganz verstehe. Logisch ist, dass das Funktional für Epsilon=0 Minimal wird, und die Ableitung des Funktionals deshalb null sein muss. Aber warum leitet man nach gerade Epsilon ab?
Später soll
 \, \dd x )
 \, \dd x )
(Integrale immer von x1 bis x2, bin grade zu blöd das einzutippen)
umgeschrieben werden und wird auf irgendeine Art entwickelt. Allerdings verstehe ich nicht, warum, und wie das gehen soll.
Muss ich das Ergebnis dazu auch nennen? Wäre nämlich für mich als Latexanfänger eine ziemlich langwierige Sache... |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 20. Jul 2012 22:02 Titel: |
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Danke für die Antwort, Chillosaurus, jetzt weiß ich immerhin, dass ich mit Taylor nicht falsch liege 
Aber was ich immer noch nicht ganz verstehe, ist warum F gerade nach diesen Variablen abgeleitet wird... wieso hängt F überhaupt von y und y' ab? |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 20. Jul 2012 22:10 Titel: |
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Achso, sry, klar hängt F von y und y' ab, steht ja ganz am Anfang^^ |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 20. Jul 2012 22:17 Titel: |
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Wollt gerade antworten, aber scheint ja geklaert
Kleiner Tipp an TomS (und auch alle anderen):
Wenn Buch nicht zur Hand, hilft oft Google Books |
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franz
Anmeldungsdatum: 04.04.2009
Beiträge: 11583
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| franz Verfasst am: 21. Jul 2012 05:30 Titel: |
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Notfalls gibt es, höflich formuliert, auch andere Bücher. |
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jh8979
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.07.2012
Beiträge: 8762
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| jh8979 Verfasst am: 21. Jul 2012 05:49 Titel: |
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| franz hat Folgendes geschrieben: | | Notfalls gibt es, höflich formuliert, auch andere Bücher. |
Selbstverstaendlich... deswegen hatten wir ja alle den Fliessbach nicht zur Hand  |
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Chillosaurus
Anmeldungsdatum: 07.08.2010
Beiträge: 2440
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| Chillosaurus Verfasst am: 21. Jul 2012 07:21 Titel: |
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| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | [...] Logisch ist, dass das Funktional für Epsilon=0 Minimal wird, und die Ableitung des Funktionals deshalb null sein muss. Aber warum leitet man nach gerade Epsilon ab?
[...] |
Hast du dir die Antwort damit nicht schon selbst gegeben? |
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 21. Jul 2012 12:10 Titel: |
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Was mich momentan noch verwirrt, ist, warum am Anfang überhaupt dieses F(y,y',x) gegeben ist. Ich dachte, ein Funktional ordnet jeder Funktion einen Wert zu. Dann müsste doch F(y) genügen? Gut, klar, y hängt von x ab, aber warum taucht y' auf? Sorry wenn ich gerade etwas schwer von Begriff bin, aber ich versteh das grade echt nicht.  |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 21. Jul 2012 12:25 Titel: |
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Die Diskussion um das Buch ist ein bisschen seltsam; ich kann eine Frage zu einer Formel in einem Buch nur beantworten, wenn ich die Formel sehe; also entweder hier reinstellen (was ich immer für das beste halte), oder verlinken. Das Problem liegt ja wohl nicht an der Formel im Fließbach sondern an der Formel selbst ;-)
Zu Sache: In dem speziellen Fall geht es ja wohl um ein Wirkungsfunktional, in dessen Lagrangefunktion die Orte x(t) als Funktionen von der Zeit t, sowie die Geschwindigkeiten als erste Ableitungen auftreten. Ggf. hängt die Lagrangefunktion auch nochn explizit von der Zeit ab. Wo hier also allgemein F(y,y',x) steht, sollte man sich konkret
)
denken. Eine häufig vorkommende Form wäre dabei
 = \frac{m}{2}\dot{x}^2-V(x))
wobei der erste Term für die kentische Energie eines Massenpunktes und der zweite Term für dessen potentielle Energie steht. Damit sollte klar sein, wieso ein Ableitungsterm y' auftritt. Beim Ableiten der Euler-Lagrange-Gleichungen sieht man daan auch, dass der Ableitungsterm y' auf einen andere Term führt, d.h. die Unterscheidung zwischen y und y' ist schon wichtig.
Du hast recht, ein Funktional ordnet jeder Funktion einen Wert zu, allgemeiner könnte man sagen, einer Funktion sowie ihren Ableitungen.
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 21. Jul 2012 13:12 Titel: |
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| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | | Das heißt, man setzt sozusagen voraus, dass die Funktion von x, x' und t abhängt, wie eine übliche Lagrangefunktion auch? |
Ja, das setzt man voraus. Wenn x' nicht vorkäme, wäre die Rechnung erheblich einfacher; wenn stattdessen x'' oder höhere Ableitungen hinzukämen, sähen die "Euler-Lagrange-Gleichungen" komplizierter aus. In dem Buch wird genau der für die Physik relevante Fall vorgerechnet.
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 21. Jul 2012 13:20 Titel: |
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mmhh... ok, langsam versteh ich glaub ich zumindest die Motivation: man macht das ganze direkt mit dem Hintergedanken, die Wirkung der Lagrangefunktion zu minimieren, oder? |
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TomS
Moderator
Anmeldungsdatum: 20.03.2009
Beiträge: 21469
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| TomS Verfasst am: 21. Jul 2012 13:24 Titel: |
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mit dem Hintergedanken, alle Bewegungsgleichungen aus einem Wirkungsfunkltional ableiten zu können, weil es oft einfacher ist, eine vernünftige Lagrangefunktion zu konstruieren oder zu erraten, als direkt die Bewegungsgleichungen zu erraten.
btw.: die Lösung der Euler-Langrange-Gleichung minimiert nicht zwingend die Wirkung, es handelt sich dabei nur um einen Extremalpunkt, d.h. es kann auch ein Maximum oder ein Sattelpunkt vorliegen (in der Praxis eher die Ausnahme, vielleicht fällt jemandem ein Beispiel aus der Mechanik ein, z.B. die instabilen Lagrange-Punkte in der Himmelsmechanik?)
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Nima93
Anmeldungsdatum: 08.01.2012
Beiträge: 221
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| Nima93 Verfasst am: 21. Jul 2012 16:14 Titel: |
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Vielen Dank für eure Hilfe, habs jetzt endlich nachvollziehen können Einfach Kettenregel benutzen. Wie konnte ich nur soo lange dafür brauchen  |
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ccho
Gast
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| ccho Verfasst am: 21. Jul 2012 17:53 Titel: |
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| Nima93 hat Folgendes geschrieben: | | Vielen Dank für eure Hilfe, habs jetzt endlich nachvollziehen können Einfach Kettenregel benutzen. Wie konnte ich nur soo lange dafür brauchen |
>In der theoretischen Mechanik macht man doch überhaupt nichts anderes als die Kettenregel anzuwenden..- |
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