Richtungsableitung

Staubfrei · Gast

Meine Frage:
Die Angabe lautet: Bestimmen Sie die Richtungsableitung von

in Richtung

. Geben Sie diese Richtungsableitungen an den Stellen

,

und

explizit an. In welcher (eventuell anderen) Richtung wäre an
diesen Stellen die Richtungsableitung am größten?

Eigentlich habe ich nur mit dem letzten Teil der Aufgabe ein Problem.

Die Richtungsableitung ist nach meinen Berechnungen

,

und beträgt an den gegebenen Stellen

,

und

.

Wie ich die gesuchte Richtung, in der die Richtungsableitung an den gegebenen Stellen am größten sein soll, erhalte, weiß ich allerdings nicht.

Meine Ideen:
Meine Idee war, dass der größte Wert, den die Richtungsableitung annehmen kann, dem Betrag des Gradienten entspricht (wenn ich es richtig verstanden habe). Also:

Für die Stelle

erhalte ich somit:

Aber was fange ich damit an?

franz · Anmeldungsdatum: 04.04.2009 Beiträge: 11583

Ist die Richtungsableitung nicht das Skalarprodukt (Projektion) Gradient * Richtungs(normalen)vektor und damit extremal in Richtung Gradient?

Staubfrei · Gast

Also ist eine mögliche Lösung für beliebige Stellen immer der Gradient

?

Rmn · Anmeldungsdatum: 26.01.2010 Beiträge: 473

Alpha ist der Winkel zwischen dem Gradient und dem Richtungvektor v.
Der Ausdruck ist maximal, wenn Kosinus seinen höhsten Wert (eins) hat, also bei Alpha gleich Null. Damit folgt, was Franz schon gesagt hat. Der Gradient zeigt in die Richtung des höhsten Anstiegs des Feldes.