Hamilton'sches Prinzip für den harmonischen Oszillator

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Meine Frage:
Hey Leute,
Stellen Sie das Wirkungsfunktional

für einen 1D harmonischen Oszillator auf! Um untersuchen zu können, ob die Wirkung maximal oder minimal wird, führen wir die Abweichung n(t) durch x(t)=x0(t)+epsilon*n(t)ein (x0(t) ist die Lösung des harmonischen Oszillators). Als Anfangsbedingung wählen wir x0(0)=0,

. Zeigen Sie

. Beachten Sie die Randbedingungen für n(t)!

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind:
Das Wirkungsfunktional lautet:

Ich habe auch schon angefangen den langen Term zu zeigen, aber da komme ich irgendwann nicht weiter:

Ich müsste ja jetzt die Stammfunktion von dem ersten Term bilden und habe es schon mit Partieller Integration versucht, aber ich komme nicht weiter. Könnte mir jemand helfen?
LG Stephi

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Will mir keiner helfen:'( Nur ein Tipp?

jh8979 · Moderator Anmeldungsdatum: 10.07.2012 Beiträge: 8762

Hab es nicht nachgerechnet, aber im wesentlichen geht es so wie DU es schon machen wolltest. Taylorenywicklung von S. Schematisch:
S = S_0 + S' (epsilon n) + S'' (epsilon n)^2

Fuer S_0 benutzt du die Bewegungsgleichungen von x_0 um es in die gegebene Form zu bringen, S' verschwindet aufgrund der Bewegungsgleichungen und fuer den letzten Term musst Du Dir noch ueberlegen welche Bedingungen fuer n(0) und n(nu) gelten, der Rest ist partielle Integration.

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Der S' Term fällt wegen der Euler-Lagrange-Gleichung weg oder? Aber ich verstehe nicht ganz warum dS/dx=0 ist:(