Trägheitsmomente einer Hantel

Staubfrei · Gast

Gegeben sei ein System aus zwei punktförmigen Massen

an den Orten

und

, die starr miteinander verbunden sind. Diese Hantel rotiere mit einer Winkelgeschwindigkeit

um eine Achse durch den Massenmittelpunkt.

a) Geben Sie die Geschwindigkeiten

beider Massen an.
b) Geben Sie die Drehimpulse

beider Massen an.
c) Geben Sie den Drehimpuls des Gesamtsystems in der Form

an.
d) Geben Sie den Trägheitstensor des Systems an.
e) Um welche Achsen kann das System so rotieren, dass

parallel zu

steht?
f) Geben Sie einen in der x-y-Ebene liegenden Winkelgeschwindigkeitsvektor mit Betrag

an, für den e) gilt.
g) Berechnen Sie für den Winkelgeschwindigkeitsvektor aus f) mit Hilfe des Trägheitstensors den Drehimpuls

. Welches Trägheitsmoment hat das System für die Rotation um diese Achse?

Also soweit einmal die Angabe. Ich bin mir noch relativ unsicher mit Drehimpuls und Trägheitstensor, deshalb bräuchte ich hier ein wenig Unterstützung.

a, b)

bekomme ich durch

und

durch

, oder?

Bei d) weiß ich dann nicht mehr weiter. Ich dachte, man benötigt dazu die Hauptträgheitsmomente, aber woher bekomme ich die? grübelnd

Ich hoffe mal, dass ich bei f) und g) keine Probleme mehr habe, wenn ich erst einmal d) und e) richtig verstanden habe.

Packo · Gast

Die Hauptträgheitsachsen fallen immer mit Symmetrieachsen zusammen sofern letztere vorhanden sind.

In unserem Fall:
1. Hauptträgheitsachse liegt in der Geraden, die m1 und m2 verbindet.
(Der Massenschwerpunkt liegt im Koordinatenursprung).
Die 2. und 3. Hauptträgheitsachsen liegen in einer Ebene durch den Ursprung und senkrecht zur 1. Hauptträgheitsachse. Auch 2. und 3. Hauptträgheitsachsen stehen senkrecht zueinander. (Unendlich viele Möglichkeiten).

Die Hauptträgheitsmomente sind: