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Nachricht |
twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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 twb8t5 Verfasst am: 10. Jan 2013 19:50 Titel: Potential innerhalb einer leitenden geladenen Kugelschale |
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Titel: Potential innerhalb einer leitenden geladenen Kugelschale/Hohlkugel
Meine Frage:
Eine homogen geladene Kugelschale ist bekanntermaßen Feldfrei. Dies läßt sich am besten mit Gauss (Integral) begründen. Auch mit Laplace  bzw. der Quellenfreiheit  (Differential) lässt es sich begründen. Denn gäbe es ein Feld im Inneren müsste es 1. Radial sein 2. mit abnehmendem Radius zunehmen um im Ursprung in alle Richtungen gleichzeitig maximal zu werden.
Das ganze wurde unter: http://www.physikerboard.de/htopic,22524,kugelschale.html behandelt.
Meine Ideen:
Nun möchte ich per Integral zeigen, dass das Potential im inneren Konstant ist.
 d \theta d \varphi}{\left | \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} - r_{0}\begin{pmatrix}\sin(\theta)\cos(\varphi)\\ \sin(\theta)\sin(\varphi)\\\cos(\theta)\end{pmatrix}\right |})
Die Frage ist jetzt: Wie berechne ich dieses Integral?
Wir wissen bereits, dass es eine Konstante ergeben muss.
Muss man cos() und sin() substituieren? Macht es Sinn, alles auf x,y,z umzuformen?
Edit:
1. Zählt man Theta von der positiven z-Achse und NICHT von der x-y-Ebene.
2. Reagiert LaTeX auf neue Zeilen und manchmal auch auf Leerzeichen.
Zuletzt bearbeitet von twb8t5 am 26. Jan 2013 19:21, insgesamt 2-mal bearbeitet |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 10. Jan 2013 21:25 Titel: Re: Potential innerhalb einer leitenden geladenen Kugelschal |
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| twb8t5 hat Folgendes geschrieben: | Titel: Potential innerhalb einer leitenden geladenen Kugelschale/Hohlkugel
Meine Frage:
Eine homogen geladene Kugelschale ist bekanntermaßen Feldfrei. Dies läßt sich am besten mit Gauss (Integral) begründen. Auch mit Laplace  bzw. der Quellenfreiheit  (Differential) lässt es sich begründen. Denn gäbe es ein Feld im Inneren müsste es 1. Radial sein 2. mit abnehmendem Radius zunehmen um im Ursprung in alle Richtungen gleichzeitig maximal zu werden.
Das ganze wurde unter: http://www.physikerboard.de/htopic,22524,kugelschale.html behandelt.
Meine Ideen:
Nun möchte ich per Coulomb-Integral zeigen, dass das Potential im inneren Konstant ist.
Die Frage ist jetzt: Wie berechne ich dieses Integral?
Wir wissen bereits, dass es eine Konstante ergeben muss.
Muss man cos() und sin() substituieren? Macht es Sinn, alles auf x,y,z umzuformen? Muss man \cos(y) = \frac{\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}) nutzen? |
Leg die z-Achse deiner Integration in Richtung des Vektors ^T) , anschließend substituierst du  . |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 11. Jan 2013 21:20 Titel: Re: Potential innerhalb einer leitenden geladenen Kugelschal |
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| pressure hat Folgendes geschrieben: |
Leg die z-Achse deiner Integration in Richtung des Vektors , anschließend substituierst du . |
Das habe ich nicht verstanden. Vermutlich schaffe ich es eh nicht.
Ich weiß, dass das Integral
ergeben muss.
Das ist merkwürdig, denn wo soll diese Unterscheidung herkommen?
Für ^T = \vec{0}) ist es einfach. |
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pressure
Anmeldungsdatum: 22.02.2007
Beiträge: 2496
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| pressure Verfasst am: 12. Jan 2013 14:36 Titel: |
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Die Fallunterscheidung kommt rein, weil das Integral auf das Ergebnis
führt.
Was verstehst du denn nicht? Der erste Schritt wäre aus deinem Nenner
zu machen, also die z-Achse der Integration in Richtung von  zu legen. Das rechnest du weiter aus und substituierst anschließend ) um die Winkelintegration zu berechnen. |
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twb8t5
Anmeldungsdatum: 10.08.2011
Beiträge: 70
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| twb8t5 Verfasst am: 14. Jan 2013 13:26 Titel: |
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Erst einmal DANKE so weit.
Ich werde mich erst ab dem 23. wieder mit TET beschäftigen da ich vorher eine andere Prüfung habe.
| pressure hat Folgendes geschrieben: | Die Fallunterscheidung kommt rein, weil das Integral auf das Ergebnis
...
führt. |
Ah, das verstehe ich.
| Zitat: | Was verstehst du denn nicht? Der erste Schritt wäre aus deinem Nenner
...
zu machen, also die z-Achse der Integration in Richtung von ... zu legen. |
Also einfach wegen der Symmetrie die Allgemeinheit aus der Formel eliminieren.
| Zitat: | | Das rechnest du weiter aus |
Also zuerst  .
Jetzt da ich die einschüchternden, aber zunächst unwichtigen, Ausdrücke durch Buchstaben ersetzt habe sehe ich es:
)^{2} + (a b \sin(\varphi))^{2} + (z - a c)^{2}}\\
<br />
= & b / \sqrt{(a b)^2 ((\cos(\varphi))^{2} + (\sin(\varphi))^{2}) + (z - a c)^{2}}\\
<br />
= & b / \sqrt{(a b)^2 (1) + (z - a c)^{2}}
<br />
\end{aligned})
Und verstehe auch warum es die z-Achse sein musste.
| Zitat: | substituierst anschließend ) um die Winkelintegration zu berechnen. |
Dann komme ich auf:
I : = \frac{z_0}{r_0})
II : = \sin(\arccos(c)) = \frac{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}{a})
III:
IV:
Da weiss ich mit II nichts anzufangen. Wie komme ich von:
}^{-1=\cos(\pi)} \frac{\sin(\arccos(c))}{\sqrt{(a \sin(\arccos(c)))^2 + (z - a c)^{2}}} \cdot \frac{-dc}{\sqrt{1-c^{2}}})
nach:
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