Lagrangefunktion zweier Körper auf einer schiefen Ebene

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Meine Frage:
Hey Leute,
ich habe bei meiner Klausurvorbereitung noch eine Aufgabe gefunden, wo ich einen kleinen Schritt wie ich glaube nicht verstehe.
Meine Aufgabe lautet:
Ein Hohlzylinder der Masse M mit dem Außenradius R und Innenradius r rollt auf einer schiefen Ebene (mit Neigungswinkel alpha) in die Neigungsrichtung. Seine Achse ist durch ein Seil mit einem Gewichtsstück der Masse m verbunden, dass sich nur um z Richtung bewegt. Es wirkt eine konstante Gewichtskraft auf beide Massen. Die Reibung wird vernachlässigt, das Seil bleibt stets gespannt.
Berechnen Sie die kinetischen und potentiellen Energien beider Massen und stellen Sie die Lagrangefunktion auf.

Meine Ideen:
Die kinetische Energie ist kein Problem. Mein Problem ist die potentielle Energie. In der Lösung steht
U=mgq-qMgsin(alpha)
Der erste Term ist mir klar. Wenn q die unabhängige Koordinate ist, die den Abstand der Masse m vom Boden anzeigt, ist U=mgq. Davon muss ich doch die potentielle Energie des Hohlzylinders abziehen. Aber woher kommt das q in diesem Term? Bitte helft mir!

Liebe Grüße
Stephi

Packo · Gast

Was ist denn daran so schwer zu verstehen?
Wenn sich der Körper m um q hebt, seine potenzielle Energie also um mgq steigt, so senkt sich gleichzeitig der Hohlzylinder um den Betrag q*sin(α) - seine potenzielle Energie nimmt also um qMgsin(α) ab.

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Ich habe das Problem, dass ich in meiner Zeichnung nicht verstehe wo ich da das q*sin(alpha)einzeichnen kann. Ich glaube mir steht da voll einer aufm Schlauch. Kommt das aus Geometrieüberlegung oder aus der Länge des Seils irgendwie? Ich verstehe das nicht:( Kannst du mir das vllt in meiner Zeichnung einzeichnen?

http://www.imagebanana.com/view/n4cwjji6/IMG_0581.JPG

Lokratin · Anmeldungsdatum: 07.01.2013 Beiträge: 64

Wäre cool gewesen, wenn du das Bild vorher verkleinert hättest. Das dauert Ewigkeiten, bis es geladen ist ...

Und ja es kommt eben genau aus dieser Nebenbedingung. Das gespannte Seil sorgt dafür, dass der Ort der Zylinders und der Ort des angehängten Gewichts miteinander gekoppelt sind. Also kannst du beides durch q ausdrücken, wobei ja für die potenzielle Energie nur die y-Komponente zählt, die du über den sinus alpha bekommst.

Stephi391 · Anmeldungsdatum: 15.04.2012 Beiträge: 107

Oh sorry ich hab hier noch nicht so oft Bilder hochgeladen, deswegen hab ich nicht gemerkt wie groß es ist.
Ok also es hängt mit dem Seil zusammen. Soweit verstehe ich das. der sin (alpha) ist mir auch bewusst für die y Komponente. Doch wenn ich mir jetzt einen senkrechten Strich an den zylinder zeichne, kommt ich auch sin(alpha)=h/l . l ist ja die Strecke vom Anfang der Ebene bis zum Punkt wo der Zylinder ist. Aber die Strecke habe ich doch nicht oder? Aber damit für h=q*sin (alpha) auskommt, muss ja l =q sein. Aber warum? q ist doch nur der Abstand vom Boden zur Masse m. Ich glaube ich bin zu Blöd traurig

Packo · Gast

Die Koodinate q gibt an, um wieviel der Körper sich vertikal verändert hat.
Dabei ist es gleichgültig, wo der Nullpunkt für q liegt.
Da die Seillänge konstant ist ist die Lagenänderung in Richtung der schiefen Ebene genau gleich der Änderung in Richtung q.

Also Δq = ΔL