Feder mit Massen auf beiden Seiten

Staubfrei · Gast

Ich soll die Schwingungsfrequenz eines Systems bestehend aus zwei gleichen Massen, die durch eine masselose Feder mit der Ruhelänge 0 verbunden sind, um den Schwerpunkt beschreiben.

Eine sehr simple Anordnung, eigentlich. Dennoch gelingt es mir nicht, dass ganze richtig zu verstehen. grübelnd

Mit welcher Kraft wirkt den die Feder auf die Massen? Jeweils mit F = (1/2)kx?

Packo · Gast

Staubfrei · Gast

Das weiß ich leider auch nicht, aber so stehts in der Angabe. unglücklich

Staubfrei · Gast

Aber spielt das überhaupt eine Rolle? Das System kann ja trotzdem schwingen, oder?

jmd · Anmeldungsdatum: 28.10.2012 Beiträge: 577

Hallo

Wenn die Auslenkung der einen Masse s beträgt dann beträgt die Auslenkung der anderen Masse -s
Die Kraft auf eine Masse bertägt also F=-2Ds

VG

Packo · Gast

Also wir wollen mal annehmen, dass die entspannte Feder die Länge L0 hat.
Dann stellen wir fest:

1) Da keine äußeren Kräfte auf das System (= 2 Massen pus Feder) wirken, bleibt der Schwerpunkt zu jeder Zeit in Ruhe (oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit).
2) Der Schwerpunkt liegt zu jeder Zeit genau im Mittelpunkt der Verbindungsstrecke von m1 nach m2.

Schlussfolgerung: der Mittelpunkt der Feder bleibt während der Schwingung in absoluter Ruhe. D.h. jede Masse schwingt so, als ob die Feder in ihrem Mittelpunkt eingespannt wäre und die andere Masse gar nicht existieren würde. (Allerdings sind die Schwingungsphasen der beiden Massen immer genau um den Winkel pi verschieden).
Die Ferderkonstante dieser fiktiven Halbfeder ist dann natürlich doppelt so groß wie die Federkonstante der wirklichen Feder. k' = 2k

Die Schwingungsgleichung also:

oder

wobei x die Koordinate der Masse relativ zum Schwerpunkt ist.

Systemdynamiker · Anmeldungsdatum: 22.10.2008 Beiträge: 594 Wohnort: Flurlingen

Allgemein (auch für unterschiedliche Massen) kann man die Frage auf zwei Arten beantworten. Am besten lässt man dazu den Schwerpunkt des Gesamtsystems ruhen.

1. Man sucht den Punkt auf der Feder, der in ruhe bleibt. Dazu wird die Feder umgekehrt proportional zur den beiden Massen aufgeteilt. Die zugehörigen Federkonstanten sind dann Gesamtfederkonstante*l0/l12. So kann man die beiden Pendel getrennt rechnen.

2. Die beiden Massen (Kapazitivglieder der Mechanik) sind in Serie geschaltet. Deshalb kann man den Zweimassenschwinger auf einen Einmassenschwinger reduzieren mit m_red = m1*m2/(m1+m2)

Bei zwei identischen Massen wird also entweder die Federkonstante verdoppelt oder die Masse halbiert.

Staubfrei · Gast

Ok, vielen Dank für die ausführlichen Antworten, ihr habt mir sehr geholfen. smile

Ich habe jetzt noch eine Frage: Wenn eine der Massen im Erdschwerefeld festgehalten wird, stellt sich im Gleichgewicht eine Auslenkung von x = mg/k ein. Was passiert nun, wenn die obere Masse losgelassen wird?

So weit ich es verstanden habe, müsste sich die Bewegung der unteren Masse als Überlagerung der Bewegung des Schwerpunkts und der Schwingung beschreiben lassen, oder? Und der Schwerpunkt wird ja ganz normal mit g beschleunigt.

Staubfrei · Gast

Ist dann die Bewegungsgleichung für die untere Masse einfach:

?

Dabei bezeichnet y_0 die Anfangshöhe des Schwerpunkts.