Fallgeschwindigkeit, Gegenwind, Anfangsbedingungen ungleich

Desperado · Gast

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich habe ein mathematisches Problem mit der Fallgeschwindigkeitsberechnung eines Partikels in einem Rohr. Ich hoffe, dass ich hier Hilfe finden kann.

Das Rohr besteht aus drei Abschnitten. Der 2. & 3. Abschnitt des Rohrs weisen einen unterschiedlichen Durchmesser auf. Zusätzlich werden diese mit Luft durchströmt. Dadurch ergeben sich zwei unterschiedliche Fluidgeschwindigkeiten, die als Gegenwind angesehen werden können. Abschnitt 1 weist keine Strömung auf. Das Partikel (ideal kugelförmig, einige Millimeter Durchmesser) fällt aus der Ruhelage von oben in das Rohr.
Ich würde gerne wissen ob die auf das Partikel wirkende Reibkraft die Gewichtskraft während des Flugs überschreitet, also das Partikel schwebt. Mein Ansatz ist es die theoretische Partikelgeschwindigkeit am unteren Ende des Rohres zu berechnen. Ist diese positiv würde das Partikel durchfallen, ist sie negativ befindet sich das Partikel im Schwebezustand.
Bekannt ist lediglich die Rohrlänge (bzw. die Längen der einzelnen Abschnitte), also der Weg, den der Partikel zurück legt. Zunächst habe ich das Kräftegleichgewicht um das Partikel aufgestellt. Zweimaliges Integrieren dieser Gleichung führt zu der Weg-Zeit-Gleichung. Mit der berechneten Zeit kann ich in den vorherigen Integrationsschritt zurückkehren um die Geschwindigkeit auszurechnen.

Meine Ideen:
Die Berechnung der Fallgeschwindigkeit ist im ersten Abschnitt der Standardfall und bereitet keine Probleme. Meine Probleme finden sich in den Abschnitten 2 & 3.

Kräftegleichgewicht um den Partikel aufstellen und umstellen:

Mit:

Frage: Fluidgeschwindigkeit; In der obenstehenden Gleichung ist die Relativgeschwindigkeit enthalten. Kann ich beim weiteren Vorgehen nutzen oder muss ich den Ausdruck aufspalten, da ja (abhängig vom Abschnitt) eine Konstante enthalten ist?

Wenn ich mit der Relativgeschwindigkeit weiter rechne erhalte ich die folgenden Gleichungen:

1.Integration:

Umgestellt nach Integrationskonstante

Umgestellt nach Relativgeschwindigkeit

ANMERKUNG: mit tanh(-1)meine ich tanh^-1(x)

2.Integration:

Umgestellt zur Integrationskonstante

Umgestellt zur Zeit

ANMERKUNG: mit cosh(-1)meine ich cosh^-1(x)

Wenn man das ganze mal konkret ausrechnet ergibt sich im zweiten Abschnitt eine negative Fallzeit. Das kann nicht stimmen, darum:

Frage: Sind diese Gleichungen richtig? Oder wo liegt der Fehler?

Zieht man die Relativgeschwindigkeit auseinander und betrachtet nur die Partikelgeschwindigkeit als Variable, sind die Gleichungen natürlich etwas komplizierter. Da eine solche Integration mein mathematisches Wissen übersteigt, habe ich diese mit Hilfe von Wolfram berechnen lassen. Allerdings erhalte ich damit auch keine logischen Ergebnisse, da sich meist keine Lösung ergibt (Aufgrund der eingeschränkten Wertebereiche der enthaltenen Areafunktionen).

Ich würde mich über jegliche Hilfe freuen.