Zerfallsgesetz

planck1858 · Anmeldungsdatum: 06.09.2008 Beiträge: 4542 Wohnort: Nrw

Hi,

kann mir jemand mal die Herleitung für das Zerfallsgesetz erklären?

Wie macht man das mit der Bestimmung der Gleichung. Was hat es mit dem ln(z|z_0) auf sich?

Bitte um Hilfe!!

yellowfur · Moderator Anmeldungsdatum: 30.11.2008 Beiträge: 804

Mit Bestimmung der Gleichung meinst du wahrscheinlich die Differenzialgleichung

Du beobachtest quasi, dass sich bei einem Radionuklid die Masse stetig reduziert, und zwar proportional dazu, welche Menge des Stoffes zum Zeitpunkt t noch vorhanden ist (N(t)) und proportional zu einer stoffcharakteristischen Zerfallskonstante

. Das Minuszeichen sagt aus, dass es mit der Zeit immer weniger wird und nicht mehr.

Diese Differenzialgleichung willst du jetzt lösen. Du suchst eine Funktion, die genau die obige Bedingung erfüllt: Wenn N sich zeitlich ändert, dann muss es wegen N und Lambda sein und die Ableitung von N muss wieder die rechte Seite ergeben. Lösungen von Differentialgleichungen können knifflig sein, aber hier kann man ja einfach raten und die Exponentialfunktion ansetzen (das macht man oft so):

Diese Gleichung erfüllt obige Differenzialgleichung, wenn ich nach t ableite, steht wieder d/dt N(t) da.

ist hierbei nur eine Konstante.

Falls du nicht raten willst, musst die Gegenoperation der Ableitung auf die Differenzialgleichung anwenden und eine Integration nach Umformen durchführen:

Das Integral auf der linken Seite kannst du einfach ausführen, weil hier Lambda nicht von t abhängt; die rechte Seite ergibt den Logarithmus, wobei Minuszeichen beim Logarithmus zu einer Division wird:

Die Exponentialfunktion ist die Gegenoperation des Logarithmus, also wenden wir diese auf beide Seiten an:

Das ergibt genau wieder

Dein

ist einfach das

. Du siehst, zum Lösen von Differenzialgleichungen muss man Integrieren und Ableiten lernen. Das lernt man in den letzten Klassen des Gymnasiums, so richtig steigt man aber in den Mathekursen der Uni wieder ein.

Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen smile